IC vuông góc IK

IC vg góc IK

4cm

4 cm

tui nek                                                                          

\(A=\frac{3x}{\sqrt{x}-1}=\frac{3x-3}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}-1}=3\sqrt{x}+3+\frac{3}{\sqrt{x}-1}\)

\(=3\left(\sqrt{x}-1\right)+\frac{3}{\sqrt{x}-1}+6\ge2\sqrt{3\left(\sqrt{x}-1\right).\frac{3}{\sqrt{x}-1}}+6=12\)

Dấu \(=\)khi \(\sqrt{x}-1=1\Leftrightarrow x=4\).

Vậy \(minA=12\).

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

Ta có : \(A=\frac{3x}{\sqrt{x}-1}=\frac{3x-3\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3+3}{\sqrt{x}-1}=\frac{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+3\left(\sqrt{x}-1\right)+3}{\sqrt{x}-1}\)

\(=3\sqrt{x}+3\frac{3}{\sqrt{x}-1}=\left[3\left(\sqrt{x}-1\right)+\frac{3}{\sqrt{x}-1}\right]+6\)

Vì \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\) nên \(\hept{\begin{cases}3\left(\sqrt{x}-1\right)>0\\\frac{3}{\sqrt{x}-1}>0\end{cases}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(3\left(\sqrt{x}-1\right)+\frac{3}{\sqrt{x}-1}\ge2\sqrt{3\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\frac{3}{\sqrt{x}-1}}=6\)

hay A >= 12. Đẳng thức xảy ra <=> x = 4 ( tm )

Vậy ...

x + y = 1 => y = 1 - x mà x,y dương => 0 < x < 1

Suy ra : \(A=2x^2-\left(1-x\right)^2+x+\frac{1}{x}+1=2x^2-1+2x-x^2+x+\frac{1}{x}+1\)

\(=x^2+3x+\frac{1}{x}=x^2-x+\frac{1}{4}+4x+\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+4x+\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\)

Mà \(4x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{4x.\frac{1}{x}}=2.2=4\). Dấu "=" xảy ra <=> 4x = 1/x <=> x = 1/2

Với x = 1/2 thì ( x - 1/2 )² cũng đạt GTNN là 0 => y = 1 - a = 1/2

Vậy min\(A=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}\)<=> x = y = 1/2

Cách giải như sau

x + y = 1 => y = 1 - x mà x,y dương => 0 < x < 1

Suy ra : A=2x2−(1−x)2+x+1x +1=2x2−1+2x−x2+x+1x +1

=x2+3x+1x =x2−x+14 +4x+1x +14 

=(x−12 )2+4x+1x +14 

Mà 4x+1x ≥2√4x.1x =2.2=4. Dấu "=" xảy ra <=> 4x = 1/x <=> x = 1/2

Với x = 1/2 thì ( x - 1/2 )² cũng đạt GTNN là 0 => y = 1 - a = 1/2

Vậy minA=4+14 =174 <=> x = y = 1/2

          HOK TỐT

MUDA MUDA /ORA ORA

a) Δ = b² - 4ac = [ -( m - 1 ) ]² - 4( m - 2 )

= m² - 2m + 1 - 4m + 8

= m² - 6m + 9 = ( m - 3 )² ≥ 0 ∀ m

hay phương trình luôn có nghiệm ∀ m ( đpcm )

b) Theo hệ thức Viète ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m-1\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-2\end{cases}}\)

Khi đó 3( x₁ + x₂ ) = x₁x₂

<=> 3m - 3 = m - 2

<=> 2m = 1 <=> m = 1/2

Vậy với m = 1/2 thì phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn 3( x₁ + x₂ ) = x₁x₂

Ta có : \(\frac{a}{b^2c^2}+\frac{b}{c^2a^2}+\frac{c}{a^2b^2}=\frac{a^4}{a^3b^2c^2}+\frac{b^4}{b^3c^2a^2}+\frac{c^4}{c^3a^2b^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel và giả thiết a² + b² + c² = 3abc ta có :

\(\frac{a^4}{a^3b^2c^2}+\frac{b^4}{b^3c^2a^2}+\frac{c^4}{c^3a^2b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(3abc\right)^2}{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1