\(5\times11\times18+9\times31\times10+4\times29\times45\)

\(=\left(5\times18\right)\times11+31\times\left(9\times10\right)+2\times29\times\left(2\times45\right)\)

\(=90\times11+31\times90+58\times90\)

\(=90\times\left(11+31+58\right)\)

\(=90\times\left(42+58\right)\)

\(=90\times100\)

\(=9000\)

KQ = 9000

Gọi tập hợp đó là A:

- Cách 1: liệt kê

\(A=\left\{4;6;8;10;...;2020\right\}\)

- Cách 2: chỉ ra tính chất đặc trưng

\(A=\left\{x\in N|x=2k,2\le k\le1010\right\}\)

\(A=\left\{402020;412020;...;492020;...\right\}\)

\(A=\left\{x\inℕ|x=\overline{4k2020};k\ge0;k\inℕ\right\}\)

 Xét các số \(10^{13},10^{12},10^{11},...,10^1,10^0\). Có tất cả 14 số như thế. Mà một số khi chia cho 13 chỉ có 13 số dư là \(0,1,2,...,12\) nên sẽ tồn tại 2 số \(10^i,10^j\left(0\le i< j\le13\right)\) có cùng số dư khi chia cho 13.

 \(\Rightarrow10^i-10^j⋮13\) 

 \(\Rightarrow10^i\left(10^{j-i}-1\right)⋮13\) 

 \(\Rightarrow10^{j-i}-1⋮13\)

Nếu \(j-i=1\) thì dẫn đến \(9⋮13\), vô lí. Vậy \(j-i\ge2\)

Ta thấy \(10^{j-i}-1=99...9\) (với \(j-i\) chữ số 9).

Từ đó suy ra 999...99 (\(j-i\) chữ số 9) \(⋮13\) 

hay \(9.111...11\) (\(j-i\) chữ số 1) \(⋮13\)

hay \(111...11\) (\(j-i\) chữ số 1) \(⋮13\)

hay \(222...22\) (\(i-j\) chữ số 2) \(⋮13\)

Vậy tồn tại một bội của 13 chỉ gồm toàn các chữ số 2.

 Chỗ này mình sửa lại 1 chút là \(10^j-10^i⋮13\) nhé. Mặc dù cái trên về bản chất thì vẫn đúng (vì nếu \(a⋮13\) thì \(-a⋮13\)) nhưng nếu viết như trên thì đôi khi sẽ gây nhầm lẫn cho người đọc.

   12 x 85 + 35 x 182 - 35 x 94

= 12 x (35 + 50) + 35 x 182 - 35 x 94

= 12 x 35 + 12 x 50 + 35 x 182 - 35 x 94

= (12 x 35 + 35 x 182 - 35 x 94) + 12 x 50

= 35 x ( 12 + 182 - 94) + 600

= 35 x 100 + 6x 100

= 100x (35 + 6)

= 100 x 41

= 4100

Gọi các ô trống cần điền vào bảng lần lượt là: a;b;c;d;e;f;g

Ta có bảng sau:

Theo bài ra ta có:     b+c+d = 1 

                             -2 + b + c = 1 ⇒ b + c = 1 + 2 = 3

   Thay b+c = 3 vào biểu thức b + c + d = 1 ta có:

                                                3 + d  = 1 ⇒ d = 1 - 3 = -2

c + d + 10 = 1 ⇒ c = 1 - 10 - d ⇒ c = 1 - 10 -(-2) = -7

thay c = -7 vào biểu thức b + c = 3 ⇒ b = 3 - (-7) = 10

a + (-2) + 10 = 1 ⇒ a = 1 - 10 + 3 = -7

Vậy các số thích hợp cần điền vào bảng là:

Bài 1

Gọi x là số hàng (x ∈ ℕ*)

Để số cây bắp cải và số cây su hào ở mỗi hàng bằng nhau thì x là ƯC(108; 63)

Ta có:

108 = 2².3³

63 = 3².7

⇒ ƯCLN(108; 63) = 3² = 9

⇒ x ∈ ƯC(108; 63) = Ư(9) = {1; 3; 9}

Vậy bác Nam cần trồng cây theo số hàng 1 hoặc 3 hoặc 9 hàng

Bài 2

Gọi x (m) là độ dài cạnh hình vuông có thể chia (x ∈ ℕ*)

Độ dài cạnh hình vuông có thể chia là ước chung của 60 và 24

Ta có:

60 = 2².3.5

24 = 2³.3

⇒ ƯCLN(60; 24) = 2².3 = 12

⇒ x ∈ ƯC(60; 24) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Vậy có 6 cách chia

Cách chia để diện tích hình vuông lớn nhất là cách chia cạnh hình vuông lớn nhất là 12m

\(60-3\times(x - 2)=51\)

\(3\times(x-2)=60-51\)

\(3\times(x-2)=9\)

\(x-2=9:3\)

\(x-2=3\)

\(x=3+2\)

\(x=5\)

Số đã cho có thể viết là \(N=101010...10\) (27 cụm 10)

Do đó \(N=10^{53}+10^{51}+10^{49}...+10^1\)

\(\Rightarrow100N=10^{55}+10^{53}+10^{51}+...+10^3\)

\(\Rightarrow99N=10^{55}-10\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{10^{55}-10}{99}\)

Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{10^{55}-10}{99}⋮27\) hay \(10^{55}-10⋮2673\)

Mà \(2673=3^5.11\) nên ta cần cm \(10^{55}-10⋮243=3^5\) và \(10^{55}-10⋮11\)

*) Chứng minh \(10^{55}-10⋮11\)

 Ta thấy 10 chia 11 dư \(-1\) nên \(10^{54}\) chia 10 dư 1. Từ đó \(10^{54}-1⋮11\) \(\Rightarrow10^{55}-10⋮11\)

*) Chứng minh \(10^{55}-10⋮3^5\)

Điều này tương đương với \(10^{54}-1⋮3^5\). 

Ta có \(10^{54}-1=\left(10^{27}-1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

 \(=\left(10^9-1\right)\left(10^{18}+10^9+1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

 \(=\left(10^3-1\right)\left(10^6+10^3+1\right)\left(10^{18}+10^9+1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

\(=\left(10-1\right)\left(10^2+10+1\right)\left(10^6+10^3+1\right)\left(10^8+10^9+1\right)\left(10^{27}+1\right)\)

 Ta thấy \(10-1=9=3^2\), \(10^2+10+1,10^6+10^3+1,10^{18}+10^9+1⋮3\) do chúng đều có tổng các chữ số là 3. Từ đó \(10^{54}-1⋮3^5\)

 Vậy, ta có đpcm.

 Số đã cho được viết là N = 111...11 (81 chữ số 1)

\(N=10^{80}+10^{79}+...+10^1+10^0\)

\(\Rightarrow10N=10^{81}+10^{80}+...+10^2+10^1\)

\(\Rightarrow9N=10^{81}-1\)

\(\Rightarrow N=\dfrac{10^{81}-1}{9}\)

 Ta chứng minh \(\dfrac{10^{81}-1}{9}⋮81=3^4\) hay \(10^{81}-1⋮3^6\)

 Kí hiệu \(v_p\left(n\right)\) là số mũ đúng của số nguyên tố p trong phân tích tiêu chuẩn của n.

Sử dụng định lý LTE, ta có:

 \(v_3\left(10^{81}-1\right)=v_3\left(10-1\right)+v_3\left(81\right)\) \(=2+4=6\)

 Do đó \(10^{81}-1⋮3^6\), ta có đpcm.

 (Bạn có thể tìm hiểu thêm về định lý LTE trên mạng nhưng bạn sẽ không được dùng nó vào chương trình lớp 6 đâu. Bạn có thể cm điều này bằng cách phân tích \(10^{81}-1\) thành tích của các số nhưng sẽ hơi lâu.)

Lời giải:

Ta có:

\(\underbrace{111....1}_{81}=\underbrace{11...1}_{9}\times 10^{72}+\underbrace{11...1}_{9}\times 10^{63}+\underbrace{111...1}_{9}\times 10^{54}+....+\underbrace{11...1}_{9}\times 10^0\)

\(=\underbrace{111....1}_{9}(10^{72}+10^{63}+...+10^0)\)

\(=\underbrace{111...1}_{9}\times 1\underbrace{0...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\underbrace{00...0}_{8}1\)

Ta thấy thừa số thứ nhất chia hết cho 9 (do tổng các chữ số bằng 9). Thừa số thứ 2 cũng chia hết cho 9 (do tổng các chữ số chia hết cho 9)

Do đó tích 2 thừa số trên chia hết cho $9.9=81$

Ta có điều phải chứng minh.

3n + 1⋮ 2n + 1 đk n \(\ne\) - \(\dfrac{1}{2}\)

6n + 2 ⋮ 2n + 1

3.(2n + 1) - 1 ⋮ 2n + 1

                   1 ⋮ 2n + 1

2n + 1 \(\in\) { -1; 1}

n \(\in\) {-1; 0}