Câu hỏi của tuandat

Question

2) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), dường cao AH.

a) Chứng minh : BHA va BAC đồng dang

...

Lại Thị Yến Ngọc · Accepted Answer

Ta có $\angle B H A = 90^{\circ}$.
$\angle B A C = 90^{\circ}$.
⇒ $\angle B H A = \angle B A C$.
Đồng thời $\angle A B H = \angle A C B$ (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông).

⇒ Theo trường hợp “góc - góc” (AA), ta có:

$\triangle B H A sim \triangle B A C .$

Đây là hệ thức quen thuộc trong tam giác vuông: đường cao chia cạnh huyền thành 2 đoạn.

Từ (a): $\triangle B H A sim \triangle B A C$.
⇒ $\frac{B H}{B A} = \frac{B A}{B C}$.
⇒ $B A^{2} = B H \cdot B C$.
Tương tự, $\triangle A H C sim \triangle A B C$.
⇒ $A C^{2} = H C \cdot B C$.
Cộng lại: $B A^{2} + A C^{2} = B C \left(\right. B H + H C \left.\right) = B C^{2}$.
Lại có: trong tam giác vuông, $A H^{2} = B H \cdot H C$. (Có thể suy ra trực tiếp từ hai đồng dạng trên).

Cần chứng minh:

$H A$ là tia phân giác $\angle P H M$.
$B , I , M$ thẳng hàng.
Chứng minh HA là phân giác của $\angle P H M$:
- Ta dùng tứ giác nội tiếp hoặc đồng dạng.
- Dễ thấy các tam giác vuông nhỏ xuất hiện quanh điểm $H , M$.
- Thường ta chứng minh $\triangle H A P sim \triangle H A M$ hoặc sử dụng tính chất: $I$ trên $A H$ đồng thời thuộc $C P$, kết hợp với $Q = C P \cap H M$ ⇒ xuất hiện cặp tam giác đồng dạng, từ đó suy ra $\frac{H P}{H A} = \frac{H A}{H M}$ ⇒ HA phân giác.
Chứng minh $B , I , M$ thẳng hàng:
- Từ việc HA là phân giác, áp dụng định lí phân giác trong tam giác $P H M$.
- Ta có $I$ nằm trên phân giác $A H$.
- Từ đó dựng quan hệ tỉ số, và qua biến đổi sẽ ra tính thẳng hàng $B , I , M$.

Câu trả lời:

Ta có $\angle B H A = 90^{\circ}$.
$\angle B A C = 90^{\circ}$.
⇒ $\angle B H A = \angle B A C$.
Đồng thời $\angle A B H = \angle A C B$ (hai góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông).