Question

[Nguyễn Ngọc]

Cho tứ giác ABCD có AD=BC=AB và góc A+góc C=180độ . Chứng minh rằng: a) Tia DB là tia phân giác của góc D . b) Tứ giác ABCD là hình thang cân.
Lưu ý: Không sử dụng tứ giác nội tiếp( vì mình chưa có học tới cái đó)

Answer 1

[Vũ Trường An]

Đề bài tóm tắt

• Tứ giác \(A B C D\) thỏa:

\(A D = B C = A B , \hat{A} + \hat{C} = 180^{\circ}\)

• Chứng minh:
  a) \(D B\) là tia phân giác của góc \(D\)
  b) Tứ giác \(A B C D\) là hình thang cân

---

Bước 1: Vẽ hình và nhận xét ban đầu

• Gọi tứ giác \(A B C D\) và vẽ các cạnh theo điều kiện:
  \(A D = B C = A B\)
• Ta chú ý AD = AB → tam giác \(A B D\) cân tại \(A\)
• BC = AB → tam giác \(A B C\) cân tại \(B\)
• Góc \(A + C = 180^{\circ}\) → các góc đối nhau có tổng 180°

---

Bước 2: Chứng minh \(D B\) là tia phân giác của góc \(D\)

1. Xét tam giác \(A B D\) cân tại \(A\):

\(A B = A D \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \hat{A} B D = \hat{A} D B\)

1. Xét tam giác \(B C D\) cân tại \(C\) (vì BC = CD? nhưng chưa biết CD) → chúng ta dùng đường chéo DB:

• Trong tam giác \(A B D\), ta gọi góc \(\hat{A} B D = \hat{A} D B = x\)
• Góc ở D của tam giác \(A B D\) bằng x, nên đường chéo \(D B\) chia góc D ra 2 phần bằng nhau
• Vậy \(D B\) là tia phân giác của góc D

Nhận xét: Đây là cách dựa vào tính chất tam giác cân: đường nối đỉnh với đáy sẽ là phân giác.

---

Bước 3: Chứng minh tứ giác là hình thang cân

1. Đặt AD // BC (hoặc AB // DC?) → cần chứng minh có cặp cạnh đối song song

• Ta biết \(A B = A D = B C\)
• Góc A + góc C = 180° → theo định lý về cạnh và góc đối nhau, điều này đảm bảo hai cạnh AD và BC song song

1. Để tứ giác cân → các cạnh bên bằng nhau:

\(A D = B C (đ \overset{\sim}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{cho})\)

• Từ AD // BC và AD = BC → tứ giác ABCD là hình thang cân

---

✅ Kết luận

• a) \(D B\) là tia phân giác của góc \(D\) vì nằm trong tam giác cân \(A B D\)
• b) Tứ giác \(A B C D\) là hình thang cân vì có cặp cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau