Question

[phạm khánh linh]

cho x^2/9 +y^2/4=1 tìm max p=3x+2y

Answer 1

[than thien]

Để tìm giá trị lớn nhất của \(� = 3 � + 2 �\) với điều kiện \(\frac{�^{2}}{9} + \frac{�^{2}}{4} = 1\), chúng ta có thể sử dụng phương pháp Lagrange hoặc thay thế.

Phương pháp Lagrange

1. Đặt hàm mục tiêu và ràng buộc:
2. • Hàm mục tiêu: \(� \left(\right. � , � \left.\right) = 3 � + 2 �\)
   • Ràng buộc: \(� \left(\right. � , � \left.\right) = \frac{�^{2}}{9} + \frac{�^{2}}{4} - 1 = 0\)
3. Tính đạo hàm riêng:
4. • Đạo hàm riêng của \(�\): \(�_{�} = 3 , �_{�} = 2\)
   • Đạo hàm riêng của \(�\): \(�_{�} = \frac{2 �}{9} , �_{�} = \frac{2 �}{4} = \frac{�}{2}\)
5. Sử dụng phương pháp Lagrange:
6. • Theo điều kiện Lagrange: \(\nabla � = � \nabla �\)
   • Ta có hệ phương trình: \(3 = � \cdot \frac{2 �}{9} \left(\right. 1 \left.\right)\) \(2 = � \cdot \frac{�}{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)
7. Giải hệ phương trình:
   Từ (1):
   \(� = \frac{27}{2 �} \left(\right. 3 \left.\right)\)
   Từ (2):
   \(� = \frac{4}{�} \left(\right. 4 \left.\right)\)
   Đặt (3) bằng (4):
   \(\frac{27}{2 �} = \frac{4}{�}\)
   Giải phương trình này:
   \(27 � = 8 � \left(\right. 5 \left.\right)\)
   Từ (5), ta có:
   \(� = \frac{8}{27} �\)
8. Thay vào ràng buộc:
   Thay \(�\) vào ràng buộc:
   \(\frac{�^{2}}{9} + \frac{\left(\left(\right. \frac{8}{27} � \left.\right)\right)^{2}}{4} = 1\)
   Tính toán:
   \(\frac{�^{2}}{9} + \frac{64 �^{2}}{4 \cdot 729} = 1\)
   \(\frac{�^{2}}{9} + \frac{16 �^{2}}{729} = 1\)
   Đưa về cùng mẫu:
   \(\frac{81 �^{2} + 16 �^{2}}{729} = 1\)
   \(\frac{97 �^{2}}{729} = 1 \Rightarrow 97 �^{2} = 729 \Rightarrow �^{2} = \frac{729}{97} \Rightarrow � = \pm \sqrt{\frac{729}{97}}\)
   Tính giá trị \(�\):
   \(� = \pm \frac{27}{\sqrt{97}}\)
9. Tính \(�\):
   Thay vào (5):
   \(� = \frac{8}{27} \cdot \frac{27}{\sqrt{97}} = \frac{8}{\sqrt{97}}\)
10. Tính giá trị của \(�\):
    Thay \(�\) và \(�\) vào \(�\):
    \(� = 3 � + 2 � = 3 \cdot \frac{27}{\sqrt{97}} + 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{97}} = \frac{81 + 16}{\sqrt{97}} = \frac{97}{\sqrt{97}} = \sqrt{97} \cdot \sqrt{97} = 97\)

Kết luận

Giá trị lớn nhất của \(� = 3 � + 2 �\) là 97.

Tham khảo