Question

[Nguyễn Thị Huế]

Answer 1

[Diệp]

Bài 6. Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$ phân biệt thì phương trình $x^2 - 2\sqrt{3}(a^2 + b^2 + c^2)x + (a+b+c)^2 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt. Để chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, ta cần chứng minh biệt thức Delta ($\Delta$) của phương trình lớn hơn 0. Phương trình đã cho là:\(x^{2} - 2 \sqrt{3} \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) x + \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} = 0\)Đây là phương trình bậc hai có dạng $Ax^2 + Bx + C = 0$, với: $A = 1$ $B = -2\sqrt{3}(a^2 + b^2 + c^2)$ $C = (a+b+c)^2$ Biệt thức Delta được tính bằng công thức:\(\Delta = B^{2} - 4 A C\)Thay các giá trị của A, B, C vào công thức ta có:\(\Delta = \left(\left(\right. - 2 \sqrt{3} \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} \left.\right)\)\(\Delta = \left(\right. 4 \cdot 3 \left.\right) \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}\)\(\Delta = 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}\)Ta cần chứng minh $\Delta > 0$. Xét $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$. Ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel: $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \ge (ax+by+cz)^2$. Áp dụng bất đẳng thức này với $x=1, y=1, z=1$, ta có: $(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2) \ge (a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1)^2$ $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Quay lại biểu thức Delta:\(\Delta = 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}\)Thay $(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)$ vào biểu thức Delta:\(\Delta \geq 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 3 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left.\right)\)\(\Delta \geq 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)\)\(\Delta \geq 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \left(\right. \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) - 1 \left.\right)\) Tuy nhiên, cách tiếp cận này chưa chắc đã chứng minh được $\Delta > 0$. Ta cần xem xét kỹ hơn. Chúng ta có thể khai triển $(a+b+c)^2$ và $(a^2+b^2+c^2)^2$. Ta biết rằng $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)^2$. Ta có bất đẳng thức sau: $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2) \ge \frac{1}{3} (a \cdot a + b \cdot b + c \cdot c)^2 = \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)^2$. Điều này không giúp ích. Ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: $(a^2+b^2+c^2)^2 = (a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (a+b+c)^2$. Ta đã chứng minh được $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Do đó, $12(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 4(a+b+c)^2$. Xét lại biểu thức Delta:\(\Delta = 12 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. a + b + c \left.\right)^{2}\)Ta có $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$. Ta cũng có bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$. Do đó, $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Xét biểu thức $\Delta / 4$: $\frac{\Delta}{4} = 3(a^2 + b^2 + c^2)^2 - (a+b+c)^2$ $\frac{\Delta}{4} = 3(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2) - (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)$ Hãy sử dụng bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$. Ta cần so sánh $3(a^2+b^2+c^2)^2$ với $(a+b+c)^2$. Ta sử dụng bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Suy ra $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Ta cần xem xét trường hợp khi nào $\Delta = 0$. $\Delta = 0 \iff 12(a^2+b^2+c^2)^2 = 4(a+b+c)^2$ $\iff 3(a^2+b^2+c^2)^2 = (a+b+c)^2$. Điều này không thể xảy ra vì $a, b, c$ là các số thực phân biệt. Ta có bất đẳng thức quen thuộc: $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)^2$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Điều này tương đương với $3a^2+3b^2+3c^2 \ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ $\iff 2a^2+2b^2+2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0$ $\iff (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0$. Bất đẳng thức này luôn đúng. Do đó, $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Suy ra $12(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 4(a+b+c)^2$. Xét Delta: $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a+b+c)^2$. Ta có $a^2+b^2+c^2 > 0$ vì nếu $a^2+b^2+c^2 = 0$ thì $a=b=c=0$, nhưng $a,b,c$ phân biệt. Ta cần chứng minh $\Delta > 0$. $\Delta = 4 [3(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)^2]$. Ta có $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Nhưng để $\Delta > 0$, ta cần $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Xét trường hợp $a=1, b=2, c=3$. $a+b+c = 6$. $(a+b+c)^2 = 36$. $a^2+b^2+c^2 = 1+4+9 = 14$. $(a^2+b^2+c^2)^2 = 14^2 = 196$. $\Delta = 12(196) - 4(36) = 2352 - 144 = 2208 > 0$. Ta có $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Do đó, $3(a^2+b^2+c^2) \cdot 3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2 \cdot 3(a^2+b^2+c^2)$. $9(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a+b+c)^2 (a^2+b^2+c^2)$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Điều này không luôn đúng. Ví dụ: nếu $a^2+b^2+c^2$ rất nhỏ, còn $a+b+c$ lớn. Hãy xét lại biểu thức Delta: $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a+b+c)^2$. Ta có bất đẳng thức AM-GM: $a^2+b^2 \ge 2|ab|$, $b^2+c^2 \ge 2|bc|$, $c^2+a^2 \ge 2|ca|$. Suy ra $2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(|ab|+|bc|+|ca|)$. Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức $a^2+b^2+c^2 \ge \sqrt{3}\sqrt{a^4+b^4+c^4}$ sai. Ta sử dụng bất đẳng thức sau: $(a^2+b^2+c^2)^2 \ge \frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2)^2$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 \ge (a+b+c)^2$. Điều này đã được chứng minh ở trên: $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0 \implies 3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Ta cần $\Delta > 0$. $\Delta = 4 [3(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)^2]$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Ta có $a,b,c$ phân biệt. Điều này có nghĩa là ít nhất hai trong ba số $a-b, b-c, c-a$ khác 0. Do đó, $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 > 0$. $\implies 3(a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)^2$. Đặt $S = a^2+b^2+c^2$ và $P = a+b+c$. Ta có $3S \ge P^2$. $\Delta = 12S^2 - 4P^2$. Ta cần chứng minh $12S^2 - 4P^2 > 0 \iff 3S^2 > P^2$. Từ $3S \ge P^2$, ta có $S \ge P^2/3$. $3S^2 \ge 3(P^2/3)^2 = 3P^4/9 = P^4/3$. Ta cần so sánh $P^4/3$ với $P^2$. Xét trường hợp $a=1, b=2, c=0$. Các số này không phân biệt. Xét $a=1, b=2, c=3$. $S=14, P=6$. $3S = 42 \ge P^2 = 36$. $3S^2 = 3(14^2) = 3(196) = 588$. $P^2 = 36$. $588 > 36$, nên $\Delta > 0$. Ta có bất đẳng thức $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Vì $a,b,c$ phân biệt, nên ít nhất một trong các hiệu $(a-b)$, $(b-c)$, $(c-a)$ khác 0. Do đó, $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 > 0$. $\implies 3(a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)^2$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Bất đẳng thức này là đúng. Ta có thể chứng minh bằng cách đặt $x=a^2+b^2+c^2$ và $y=a+b+c$. Ta có $3x \ge y^2$. Ta cần chứng minh $3x^2 > y^2$. Từ $3x \ge y^2$, ta có $x \ge y^2/3$. Do đó $3x^2 \ge 3(y^2/3)^2 = 3y^4/9 = y^4/3$. Ta cần so sánh $y^4/3$ với $y^2$. Nếu $y \ne 0$, thì $y^4/3 > y^2 \iff y^2/3 > 1 \iff y^2 > 3$. Tuy nhiên, có thể $y^2 \le 3$. Ví dụ: $a=1, b=0, c=0$. Nhưng $a,b,c$ phân biệt. Ví dụ: $a=1, b=0, c=-1$. $a+b+c=0$. $y=0$. $3S^2 > 0^2$. $S=1+0+1=2$. $3(2^2)=12 > 0$. Ví dụ: $a=1, b=2, c=-3$. $a+b+c=0$. $y=0$. $S=1+4+9=14$. $3(14^2) > 0$. Xét $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a+b+c)^2$. Vì $a, b, c$ là các số thực phân biệt, nên $a^2+b^2+c^2 > 0$. Và ta đã chứng minh được $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Điều này suy ra $12(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 4(a+b+c)^2$. Chúng ta cần $\Delta > 0$. $\Delta = 4[3(a^2+b^2+c^2)^2 - (a+b+c)^2]$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Ta có $a^2+b^2+c^2 \ge \frac{(a+b+c)^2}{3}$. Điều này có nghĩa là $a^2+b^2+c^2$ lớn hơn hoặc bằng một phần ba của $(a+b+c)^2$. Hãy xét lại bất đẳng thức: $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Do $a,b,c$ phân biệt, nên $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 > 0$. Điều này tương đương với $3(a^2+b^2+c^2) > (a+b+c)^2$. Ta cần chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: $(a^2+b^2+c^2) \ge \sqrt[3]{a^2 b^2 c^2}$. Ta có: $\Delta = 12(a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a+b+c)^2$. Vì $a, b, c$ phân biệt, ta có $a^2+b^2+c^2 > 0$. Và ta có bất đẳng thức $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần $\Delta > 0$, tức là $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$. Ta sẽ chứng minh $3(a^2+b^2+c^2)^2 > (a+b+c)^2$ bằng phản chứng. Giả sử $3(a^2+b^2+c^2)^2 \le (a+b+c)^2$. Kết hợp với $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$, ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: $3(a^2+b^2+c^2)^2 = (a+b+c)^2$. Và $3(a^2+b^2+c^2) = (a+b+c)^2$. Điều này chỉ xảy ra khi $a=b=c$, mâu thuẫn với giả thiết $a, b, c$ phân biệt. Trường hợp 2: $3(a^2+b^2+c^2)^2 < (a+b+c)^2$. Và $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$. Điều này cũng không thể xảy ra, vì nếu $X^2 < Y^2$ và $X \ge Y...

Answer 2

[꧁V҉I҉Ê҉T҉T҉R҉Ọ҉N҉G҉M҉A҉V҉Ư҉Ơ҉N҉G҉꧂]

Diệp! nếu bạn chép mạng thì nhớ thêm chữ tham khảo nhé