Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\begin{document}
Cho biểu thức: $A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right) : \frac{1}{\sqrt{x}+1}$.
\begin{enumerate}
\item Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức.
\item Tìm các giá trị của $x$ để $A < 0$.
\end{enumerate}
\section*{Lời giải}
\subsection*{a) Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức}
\subsubsection*{Điều kiện xác định}
Để biểu thức $A$ có nghĩa, các điều kiện sau phải được thỏa mãn:
\begin{itemize}
\item $x \ge 0$ (để các căn thức có nghĩa).
\item $\sqrt{x}-1 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 1 \Rightarrow x \ne 1$.
\item $x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
\item $\sqrt{x}+1 \ne 0$, điều này luôn đúng với $x \ge 0$.
\end{itemize}
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là $x \ge 0$ và $x \ne 1$.
\subsubsection*{Rút gọn biểu thức}
Ta có:
$$A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right) : \frac{1}{\sqrt{x}+1}$$
Phân tích mẫu số $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$:
$$A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \right) \cdot (\sqrt{x}+1)$$
$$A = \left( \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \right) \cdot (\sqrt{x}+1)$$
$$A = \frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \cdot (\sqrt{x}+1)$$
$$A = \frac{1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt
a: ĐKXĐ: x>=0; x<>1
\(A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
b: Để A<0 thì \(\frac{1}{\sqrt{x}-1}<0\)
=>\(\sqrt{x}-1<0\)
=>\(\sqrt{x}<1\)
=>0<=x<1
\(\frac{3}{\sqrt{7}-1}+\frac{3}{\sqrt{7}+1}=\frac{3\left[\sqrt{7}+1+\sqrt{7}-1\right]}{\left(\sqrt{7}+1\right)\left(\sqrt{7}-1\right)}=\frac{6\sqrt{7}}{6}=\sqrt{7}\)
\(\frac{3}{\sqrt{X}-1}-\frac{2}{\sqrt{X}+1}+\frac{X-7}{X-1}=\frac{3\left(\sqrt{X}+1\right)-2\left(\sqrt{X}-1\right)+X-7}{\left(\sqrt{X}+1\right)\left(\sqrt{X}-1\right)}=\frac{X+\sqrt{X}-2}{\left(\sqrt{X}+1\right)\left(\sqrt{X}-1\right)}=\frac{\sqrt{X}+2}{\sqrt{X}+1}\)
TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:
\(\frac{3}{\sqrt{7}-1}\) + \(\frac{3}{\sqrt{7}+1}\)= \(\frac{3\left(\sqrt{7}+1\right)+3\left(\sqrt{7}-1\right)}{\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{7}+1\right)}\)= \(\frac{3\sqrt{7}+3+3\sqrt{7}-3}{6}\)=\(\frac{6\sqrt{7}}{6}\)=\(\sqrt{7}\)
RÚT GỌN BIỂU THỨC:
\(\frac{3}{\sqrt{X}-1}\)-\(\frac{2}{\sqrt{X}+1}\)+\(\frac{X-7}{X-1}\)
= \(\frac{3\left(\sqrt{X}+1\right)}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)-\(\frac{2\left(\sqrt{X}-1\right)}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)+\(\frac{X-7}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)
= \(\frac{3\sqrt{X}+3-2\sqrt{X}+2+X-7}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)
= \(\frac{X+\sqrt{X}-2}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)
= \(\frac{\left(\sqrt{X}+1\right)\left(\sqrt{X}-2\right)}{\left(\sqrt{X}-1\right)\left(\sqrt{X}+1\right)}\)
= \(\frac{\sqrt{X}-2}{\sqrt{X}-1}\)
CHÚC EM HỌC TỐT!
A = \(\frac{8}{\sqrt{5}-1}\) - (\(2\sqrt{5}-1\) ) ( chúng ta cần trục căn thức lên để khử mẫu )
= \(\frac{8\left(\sqrt{5}+1\right)}{5-1}\)- \(\left(2\sqrt{5}-1\right)\)
= \(2\sqrt{5}\)+ 2 - \(2\sqrt{5}\)+1
= 3
B = \(\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)^2+4\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\)( x \(\ge\)0 )
= \(\frac{1-2\sqrt{x}+x+4\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\)
= \(\frac{1+2\sqrt{x}+x}{1+\sqrt{x}}\)
= \(\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}{1+\sqrt{x}}\)
= 1 +\(\sqrt{x}\)
#mã mã#
ĐKXĐ: \(x>0;x\ne1\)
\(a.M=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\right)\)
\(=\frac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}:\left\lbrack\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right\rbrack\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}:\frac{\sqrt{x}-1+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}:\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\)
\(=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\)
\(b.M>0\Leftrightarrow\frac{x-1}{\sqrt{x}}>0\)
\(\) \(\Rightarrow x-1>0\Rightarrow x>1\)
vậy x>1 thì M>0
\(\frac{2x+1}{x\cdot\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{2x+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{2x+1-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
\(1-\frac{x+4}{x+\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{x+\sqrt{x}+1-x-4}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}-3}{x+\sqrt{x}+1}\)
Ta có: \(Q=\left(\frac{2x+1}{x\cdot\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(1-\frac{x+4}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}-3}{x+\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\cdot\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)
Bước 1: Xét tử số
Tử số là:
\(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}\)
Mẫu chung là \(\left(\right. x \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right)\)
Quy đồng hai phân thức:
Tử số chung:
\(= \frac{\left(\right. 2 x + 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) - \left(\right. x \sqrt{x} - 1 \left.\right)}{\left(\right. x \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right)}\)
Nhân phân phối tử:
\(2 x \sqrt{x} - 2 x + \sqrt{x} - 1 - x \sqrt{x} + 1 = \left(\right. 2 x \sqrt{x} - x \sqrt{x} \left.\right) - 2 x + \sqrt{x} = x \sqrt{x} - 2 x + \sqrt{x}\)
Vậy tử số là:
\(\frac{x \sqrt{x} - 2 x + \sqrt{x}}{\left(\right. x \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right)}\)
Bước 2: Xét mẫu số
\(1 - \frac{x + 4}{x + \sqrt{x} + 1} = \frac{\left(\right. x + \sqrt{x} + 1 \left.\right) - \left(\right. x + 4 \left.\right)}{x + \sqrt{x} + 1}\)
Rút gọn tử số:
\(\left(\right. x + \sqrt{x} + 1 \left.\right) - \left(\right. x + 4 \left.\right) = \sqrt{x} - 3\)
=> Mẫu số là:
\(\frac{\sqrt{x} - 3}{x + \sqrt{x} + 1}\)
Bước 3: Đặt lại biểu thức
Khi chia phân thức, ta nhân với nghịch đảo:
\(Q = \frac{x \sqrt{x} - 2 x + \sqrt{x}}{\left(\right. x \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right)} \cdot \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}\)
Bước 4: Nhân 2 phân thức
Tử:
\(\left(\right. x \sqrt{x} - 2 x + \sqrt{x} \left.\right) \left(\right. x + \sqrt{x} + 1 \left.\right)\)
Mẫu:
\(\left(\right. x \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)\)
Kết quả rút gọn cuối cùng là:
\(Q = \frac{\left(\right. x \sqrt{x} - 2 x + \sqrt{x} \left.\right) \left(\right. x + \sqrt{x} + 1 \left.\right)}{\left(\right. x \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 1 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 3 \left.\right)}\)