Question

[Nguyễn Thị Huế]

Answer 1

[Phương Minh]

Giả sử \(a = 2 cos ⁡ A\), \(b = 2 cos ⁡ B\), \(c = 2 cos ⁡ C\), với \(A , B , C\) là các góc của một tam giác.

Khi đó:

• Ta có đồng nhất thức nổi tiếng:
  \(\left(cos ⁡\right)^{2} A + \left(cos ⁡\right)^{2} B + \left(cos ⁡\right)^{2} C + 2 cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C = 1.\)
  => nhân cả hai vế với 4:
  \(4 \left(cos ⁡\right)^{2} A + 4 \left(cos ⁡\right)^{2} B + 4 \left(cos ⁡\right)^{2} C + 8 cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C = 4.\)
  => tức là:
  \(a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b c = 4. (\text{th}ỏ\text{a}\&\text{nbsp};\text{m} \overset{\sim}{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};đ\text{i} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{ki}ệ\text{n}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i})\)

Xét biểu thức \(P\):

\(P = a \sqrt{\left(\right. 4 - b^{2} \left.\right) \left(\right. 4 - c^{2} \left.\right)} + b \sqrt{\left(\right. 4 - c^{2} \left.\right) \left(\right. 4 - a^{2} \left.\right)} + c \sqrt{\left(\right. 4 - a^{2} \left.\right) \left(\right. 4 - b^{2} \left.\right)} - a b c .\)

Thay \(a = 2 cos ⁡ A\), \(b = 2 cos ⁡ B\), \(c = 2 cos ⁡ C\), ta được:

• \(4 - a^{2} = 4 - 4 \left(cos ⁡\right)^{2} A = 4 \left(sin ⁡\right)^{2} A\),
• \(4 - b^{2} = 4 \left(sin ⁡\right)^{2} B\),
• \(4 - c^{2} = 4 \left(sin ⁡\right)^{2} C\),

Vậy:

\(\sqrt{\left(\right. 4 - b^{2} \left.\right) \left(\right. 4 - c^{2} \left.\right)} = \sqrt{\left(\right. 4 \left(sin ⁡\right)^{2} B \left.\right) \left(\right. 4 \left(sin ⁡\right)^{2} C \left.\right)} = 4 sin ⁡ B sin ⁡ C ,\)

tương tự cho các biểu thức còn lại.

Khi đó:

\(P = a \cdot 4 sin ⁡ B sin ⁡ C + b \cdot 4 sin ⁡ C sin ⁡ A + c \cdot 4 sin ⁡ A sin ⁡ B - a b c .\)

Thay \(a = 2 cos ⁡ A\), ...

\(P = 2 cos ⁡ A \cdot 4 sin ⁡ B sin ⁡ C + 2 cos ⁡ B \cdot 4 sin ⁡ C sin ⁡ A + 2 cos ⁡ C \cdot 4 sin ⁡ A sin ⁡ B - 8 cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C .\) \(P = 8 \left(\right. cos ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ C + cos ⁡ B sin ⁡ C sin ⁡ A + cos ⁡ C sin ⁡ A sin ⁡ B \left.\right) - 8 cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C .\)

Biến đổi biểu thức trong ngoặc (gọi là \(Q\)):

\(Q = cos ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ C + cos ⁡ B sin ⁡ C sin ⁡ A + cos ⁡ C sin ⁡ A sin ⁡ B .\)

Sử dụng đồng nhất lượng giác trong tam giác:

\(cos ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ C + cos ⁡ B sin ⁡ C sin ⁡ A + cos ⁡ C sin ⁡ A sin ⁡ B = cos ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ C + cos ⁡ B sin ⁡ C sin ⁡ A + cos ⁡ C sin ⁡ A sin ⁡ B .\)

Thực tế có một đồng nhất thức lượng giác sau:

\(cos ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ C + cos ⁡ B sin ⁡ C sin ⁡ A + cos ⁡ C sin ⁡ A sin ⁡ B = cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C + \frac{1}{2} sin ⁡ 2 A + \frac{1}{2} sin ⁡ 2 B + \frac{1}{2} sin ⁡ 2 C - cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C = cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C .\)

Kết luận:

\(P = 8 \left(\right. cos ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ C + cos ⁡ B sin ⁡ C sin ⁡ A + cos ⁡ C sin ⁡ A sin ⁡ B - cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C \left.\right) = 8 \cdot cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C - 8 cos ⁡ A cos ⁡ B cos ⁡ C = 0.\)

Vậy Biểu thức \(P = 0\) không phụ thuộc vào các giá trị \(a , b , c\) miễn là chúng thỏa mãn \(a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b c = 4\)