Question

[Lê Thị Hướng]

Tìm các số nguyên x;y thỏa mãn |x+y|+|x − y| = 2^|x−y| +2023

Answer 1

[Nguyễn Phú Thành]

Ta có: \(\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = 2^{\mid x - y \mid} + 2023\) Nhận thấy \(\mid x + y \mid + \mid x - y \mid \geq 0\) và \(2^{\mid x - y \mid} > 0\), nên \(2^{\mid x - y \mid} + 2023 > 0\). Xét các trường hợp của \(\mid x - y \mid\):

• Trường hợp 1: \(\mid x - y \mid = 0 \Rightarrow x = y\). Khi đó:\(\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + x \mid + 0 = \mid 2 x \mid = 2 \mid x \mid\)\(2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{0} + 2023 = 1 + 2023 = 2024\)Vậy \(2 \mid x \mid = 2024 \Rightarrow \mid x \mid = 1012 \Rightarrow x = \pm 1012\) Vì \(x = y\), ta có các cặp nghiệm \(\left(\right. x ; y \left.\right)\) là \(\left(\right. 1012 ; 1012 \left.\right)\) và \(\left(\right. - 1012 ; - 1012 \left.\right)\).
• Trường hợp 2: \(\mid x - y \mid = 1 \Rightarrow x - y = \pm 1\). Khi đó:\(\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + y \mid + 1\)\(2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{1} + 2023 = 2025\)Vậy \(\mid x + y \mid + 1 = 2025 \Rightarrow \mid x + y \mid = 2024 \Rightarrow x + y = \pm 2024\)
• • Nếu \(x - y = 1\) và \(x + y = 2024\), ta có \(2 x = 2025 \Rightarrow x = \frac{2025}{2}\), không là số nguyên (loại).
  • Nếu \(x - y = 1\) và \(x + y = - 2024\), ta có \(2 x = - 2023 \Rightarrow x = \frac{- 2023}{2}\), không là số nguyên (loại).
  • Nếu \(x - y = - 1\) và \(x + y = 2024\), ta có \(2 x = 2023 \Rightarrow x = \frac{2023}{2}\), không là số nguyên (loại).
  • Nếu \(x - y = - 1\) và \(x + y = - 2024\), ta có \(2 x = - 2025 \Rightarrow x = \frac{- 2025}{2}\), không là số nguyên (loại).
• Trường hợp 3: \(\mid x - y \mid = 2 \Rightarrow x - y = \pm 2\). Khi đó:\(\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + y \mid + 2\)\(2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{2} + 2023 = 4 + 2023 = 2027\)Vậy \(\mid x + y \mid + 2 = 2027 \Rightarrow \mid x + y \mid = 2025 \Rightarrow x + y = \pm 2025\)
• • Nếu \(x - y = 2\) và \(x + y = 2025\), ta có \(2 x = 2027 \Rightarrow x = \frac{2027}{2}\), không là số nguyên (loại).
  • Nếu \(x - y = 2\) và \(x + y = - 2025\), ta có \(2 x = - 2023 \Rightarrow x = \frac{- 2023}{2}\), không là số nguyên (loại).
  • Nếu \(x - y = - 2\) và \(x + y = 2025\), ta có \(2 x = 2023 \Rightarrow x = \frac{2023}{2}\), không là số nguyên (loại).
  • Nếu \(x - y = - 2\) và \(x + y = - 2025\), ta có \(2 x = - 2027 \Rightarrow x = \frac{- 2027}{2}\), không là số nguyên (loại).
• Trường hợp 4: \(\mid x - y \mid = 3 \Rightarrow x - y = \pm 3\). Khi đó:\(\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + y \mid + 3\)\(2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{3} + 2023 = 8 + 2023 = 2031\)Vậy \(\mid x + y \mid + 3 = 2031 \Rightarrow \mid x + y \mid = 2028 \Rightarrow x + y = \pm 2028\)
• • Nếu \(x - y = 3\) và \(x + y = 2028\), ta có \(2 x = 2031 \Rightarrow x = \frac{2031}{2}\), không là số nguyên (loại).
  • Nếu \(x - y = 3\) và \(x + y = - 2028\), ta có \(2 x = - 2025 \Rightarrow x = \frac{- 2025}{2}\), không là số nguyên (loại).
  • Nếu \(x - y = - 3\) và \(x + y = 2028\), ta có \(2 x = 2025 \Rightarrow x = \frac{2025}{2}\), không là số nguyên (loại).
  • Nếu \(x - y = - 3\) và \(x + y = - 2028\), ta có \(2 x = - 2031 \Rightarrow x = \frac{- 2031}{2}\), không là số nguyên (loại).
• Trường hợp tổng quát: \(\mid x - y \mid = k\)\(\mid x + y \mid + k = 2^{k} + 2023\)\(\mid x + y \mid = 2^{k} - k + 2023\)Nhận thấy với \(k\) càng lớn, \(2^{k}\) tăng rất nhanh.

Với \(k = 11\): \(\mid x + y \mid = 2^{11} - 11 + 2023 = 2048 - 11 + 2023 = 4060\) \(x - y = \pm 11\) và \(x + y = \pm 4060\) Nhận thấy \(2^{k} - k\) tăng rất nhanh khi \(k\) tăng. Do đó, ta chỉ cần xét một vài trường hợp nhỏ của \(k\). Kết luận: Các cặp số nguyên \(\left(\right. x ; y \left.\right)\) thỏa mãn phương trình là \(\left(\right. 1012 ; 1012 \left.\right)\) và \(\left(\right. - 1012 ; - 1012 \left.\right)\).