Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(f'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c;f"\left(x\right)=6ax+2b\)
Hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại \(x=0\) khi và chỉ khi
\(\begin{cases}f'\left(0\right)=0\\f"\left(0\right)>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}c=0\\2b>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}c=0\\b>0\end{cases}\left(1\right)\)
Hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực đại tại \(x=1\) khi và chỉ khi \(\begin{cases}f'\left(1\right)=0\\f"\left(1\right)< 0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}3a+2b+c=0\\6a+2b< 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}f\left(0\right)=0\\f\left(1\right)=1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}d=0\\a+b+c+d=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}d=0\\a+b+c+d=1\end{cases}\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(a=-2;b=3;c=0;d=0\)
Kiểm tra lại \(f\left(x\right)=-2x^3+3x^2\)
Ta có \(f'\left(x\right)=-6x^2+6x;f"\left(x\right)=-12x+6\)
\(f"\left(0\right)=6>0\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\)
\(f"\left(1\right)=-6< 0\), hàm số đạt cực đại tại \(x=1\)
Vậy \(a=-2;b=3;c=0;d=0\)
- Khi \(m=0\Rightarrow y=x-1\) nên hàm số không có cực trị
- Khi \(m\ne0\Rightarrow y'=3mx^2+6mx-\left(m-1\right)\)
hàm số không có cực trị khi và chỉ chỉ y' = 0 không có nghiệm hoặc có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\Delta'=9m^2+3m\left(m-1\right)=12m^2-3m\le0\) \(\Leftrightarrow0\le m\)\(\le\frac{1}{4}\)
Để kiểm tra một hàm F(x) có phải là một nguyên hàm của f(x) không thì ta chỉ cần kiểm tra F'(x) có bằng f(x) không?
a) \(F\left(x\right)\) là hằng số nên \(F'\left(x\right)=0\ne f\left(x\right)\)
b) \(G'\left(x\right)=2.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\)
c) \(H'\left(x\right)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}\)
d) \(K'\left(x\right)=-2.\dfrac{-\left(\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}\right)}{\left(1+\tan\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}}{\left(\dfrac{\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}}{\cos\dfrac{x}{2}}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{\left(\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{1+2\cos\dfrac{x}{2}\sin\dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{1}{1+\sin x}\)
Vậy hàm số K(x) là một nguyên hàm của f(x).
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số f(x) và sử dụng kiến thức về đạo hàm.
Hàm số đã cho là f(x)=x(x−1)(x−2)...(x−2025). Đây là một đa thức có 2026 nghiệm đơn là 0,1,2,...,2025.
a) Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
Một đa thức bậc n có tối đa n−1 điểm cực trị. Hàm số f(x) là tích của 2026 thừa số bậc nhất, do đó f(x) là một đa thức bậc 2026. f(x)=x2026+a2025x2025+...+a1x.
Để tìm số điểm cực trị, chúng ta cần tìm số nghiệm của phương trình f′(x)=0. Vì tất cả các nghiệm của f(x) là nghiệm đơn, nên f′(x) sẽ có đúng n−1 nghiệm thực, trong đó n là bậc của đa thức. Trong trường hợp này, n=2026. Do đó, f′(x) sẽ có 2026−1=2025 nghiệm thực phân biệt. Mỗi nghiệm thực phân biệt của f′(x) là một điểm cực trị của f(x).
Vậy, hàm số đã cho có 2025 điểm cực trị.
b) Tính f′(0).
Ta có hàm số f(x)=x(x−1)(x−2)...(x−2025). Để tính f′(x), ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm của tích: (u1u2...un)′=u1′u2...un+u1u2′...un+...+u1u2...un′
Đặt g(x)=(x−1)(x−2)...(x−2025). Khi đó f(x)=x⋅g(x). Áp dụng quy tắc tích, ta có: f′(x)=(x)′⋅g(x)+x⋅g′(x) f′(x)=1⋅g(x)+x⋅g′(x) f′(x)=(x−1)(x−2)...(x−2025)+x⋅g′(x)
Bây giờ, chúng ta cần tính f′(0). Thay x=0 vào biểu thức của f′(x): f′(0)=(0−1)(0−2)...(0−2025)+0⋅g′(0) f′(0)=(−1)(−2)...(−2025)+0 f′(0)=(−1)2025⋅(1⋅2⋅...⋅2025) f′(0)=−1⋅2025! f′(0)=−2025!
Vậy, f′(0)=−2025!.
Tóm tắt kết quả: a) Hàm số có 2025 điểm cực trị. b) f′(0)=−2025!.