Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) Vì vai trò của x;y;z;t như nhau nên giả sử x≤y≤z≤tx≤y≤z≤t
Suy ra x+y+z+t≤4tx+y+z+t≤4t
↔xyzt≤4t↔xyz≤4↔xyzt≤4t↔xyz≤4
Do x;y;z;t nguyên dương nên 0<xyz≤4→xyz=1;2;3;40<xyz≤4→xyz=1;2;3;4
Xét 4 trường hợp sau:
• TH1TH1 : xyz=1xyz=1
→x=y=z=1→x=y=z=1
Thay vào (1) có : 3+t=t3+t=t (vô lí)
TH1TH1 không xảy ra: loại
• TH2:xyz=2TH2:xyz=2
Do x≤y≤z→x=y=1;z=2x≤y≤z→x=y=1;z=2
Thay vào (1) có : 4+t=2t→t=44+t=2t→t=4 (thỏa mãn)
(x;y;z;t) = (1;1;2;4)
• TH3:xyz=3TH3:xyz=3
→x=y=1;z=3→x=y=1;z=3
Thay vào (1) có : 5+t=3t→2t=55+t=3t→2t=5 (vô lí vì 5 k chia hết cho 2)
TH3TH3 k xảy ra : loại
• TH4TH4 : xyz = 4
+) x = 1; y = z = 2
→5+t=4t→5=3t→→5+t=4t→5=3t→ t không là số nguyên
+) x=y=1;z=4x=y=1;z=4
Thay vào (1) tìm được t = 2 (không thỏa mãn do z≤tz≤t(gt) mà z = 4 > 2 = t)
TH4TH4 không xảy ra: loại
Vậy (x;y;z;t) = (1;1;2;4) và các hoán vị
2)xyz = 9 + x + y + z
<=> 1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz
giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 1, ta có:
1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz ≤ 1/z^2 + 1/z^2 + 1/z^2 + 9/z^2 = 12/z^2
=> z^2 ≤ 12 => z = 1, 2 , 3
*z = 1:
1=1/y + 1/x + 1/xy ≤ 1/y + 1/y + 1/y = 3/y
=> y ≤ 3 => y = 1,2,3
y =1 => x= 11 + x (vô nghiệm)
y = 2 => 2x = 12 + x => x = 12 trường hợp nầy nghiệm (12,2,1)
y = 3 => 3x = 13 + x ( không có ngiệm x nguyên)
* z = 2
1 = 1/2y + 1/2x + 1/xy + 1/2xy = 1/2y + 1/2x + 3/2xy ≤ 1/2(1/y + 1/y + 3/y) = .5/2y
=> y ≤ 5/2 => y = 2
=> 4x = 13 + x (không có nghiệm x nguyên)
* z =3:
1 = 1/3y + 1/3x + 1/xy + 3/xy = 1/3y + 1/3x + 4/xy ≤ 1/3(1/y +1/y + 12/y) = 14/3y
=> y ≤ 14/3 => y = 3, 4
y = 3 => 9x = 15 + x (không có nghiệm x nguyên)
y = 4 => 12x = 16 + x (không có nghiệm x nguyên)
Vậy pt có nghiệm là (12,2,1) và các hoán vị của nó.
5)
Chuyen sang ve trai cac hang tu chua x,y,z:
(x^2 - xy + y^2/4) + 3(y^2/4 - 2.y/2 + 1) + (z^2-2z+1) -3-1 <= -4
<=> (x-y/2)^2 + 3.(y/2 -1)^2 + (z-1)^2 <= 0
Binh phuong cua 1 so thi ko the am nen suy ra fai xay ra dong thoi:
x-y/2 =0 ; y/2 -1 =0 vaf z-1 =0
giai ra duoc x= 1; y=2; z=1 thoa man
Ta có
\(1\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+8\right)\left(x+9\right)=y^2\)
\(\Leftrightarrow1\left(x^2+10x+9\right)\left(x^2+10x+16\right)=y^2\)
Đặt x2 + 10x + 16 = a thì pt thành
a(a + 7) = y2
<=> 4a2 + 28a = 4y2
<=> (4a2 + 28a + 49) - 4y2 = 49
<=> (2a + 7)2 - 4y2 = 49
<=> (2a + 7 - 2y)(2a + 7 + 2y) = 49
<=> (2a + 7 - 2y, 2a + 7 + 2y) = (1, 49; 49, 1; 7, 7; - 1,- 49; - 49, - 1; - 7, - 7)
Thế vào rồi giải sẽ tìm được x,y
Chúng ta cần tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
\(9 x^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 41\)Bước 1: Đưa phần chứa y về dạng hoàn chỉnh bình phương
Xét phần liên quan đến y:
\(4 y^{2} + 8 y\)Ta có thể viết lại như sau:
\(4 \left(\right. y^{2} + 2 y \left.\right)\)Hoàn thiện bình phương trong ngoặc:
\(y^{2} + 2 y = y^{2} + 2 y + 1 - 1 = \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} - 1\)Nên:
\(4 \left(\right. y^{2} + 2 y \left.\right) = 4 \left[\right. \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} - 1 \left]\right. = 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} - 4\)Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu
\(9 x^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} - 4 = 41\) \(9 x^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45\)Chia cả hai vế cho 1 để dễ quan sát:
\(9 x^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45\)Tiếp theo, để tìm các nghiệm nguyên, ta xem xét các giá trị có thể của \(x\) sao cho biểu thức này là phù hợp.
Bước 3: Nhân chia để dễ phân tích
Chia cả hai vế cho 45:
\(\frac{9 x^{2}}{45} + \frac{4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2}}{45} = 1\)Hay:
\(\frac{x^{2}}{5} + \frac{\left(\right. y + 1 \left.\right)^{2}}{\frac{45}{4}} = 1\)Tuy nhiên, để dễ tìm nghiệm nguyên, ta có thể xét từng giá trị của \(x\) và \(y\) sao cho phù hợp.
Bước 4: Tìm các giá trị của \(x\)
Vì \(9 x^{2} \leq 45 \Rightarrow x^{2} \leq 5\), nên:
\(x^{2} \in \left{\right. 0 , 1 , 4 \left.\right} \Rightarrow x \in \left{\right. - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 \left.\right}\)Thử từng giá trị của \(x\):
Khi \(x = 0\):
Thay vào phương trình:
\(9 \left(\right. 0 \left.\right)^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45 \Rightarrow 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45\) \(\left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = \frac{45}{4} = 11.25\)Không phải số bình phương nguyên, bỏ qua.
Khi \(x = \pm 1\):
\(9 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45 \Rightarrow 9 + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45\) \(4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 36 \Rightarrow \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 9\) \(y + 1 = \pm 3 \Rightarrow y = 2 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; y = - 4\)Khi \(x = \pm 2\):
\(9 \left(\right. 2 \left.\right)^{2} + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45 \Rightarrow 36 + 4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 45\) \(4 \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 9 \Rightarrow \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = \frac{9}{4} = 2.25\)Không phải số bình phương nguyên. Bỏ qua.
Bước 5: Tổng kết các nghiệm
Các nghiệm nguyên thỏa mãn:
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
\(\boxed{\left{\right. x = \pm 1 \\ y = 2 \text{ho}ặ\text{c} y = - 4}\)Cụ thể: