Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\Leftrightarrow1-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}+1-\frac{c}{c+d}-\frac{d}{d+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{d\left(a-c\right)}{\left(c+d\right)\left(d+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(c-a\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)-d\left(c-a\right)\left(c+d\right)\left(d+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)\left(b+c\right)-d\left(c+d\right)\left(d+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow bad+bd^2+bca+bcd-dab-dac-db^2-cbd=0\)
\(\Leftrightarrow bca-dca+bd^2-db^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-d\right)\left(ca-bd\right)=0\)
\(\Rightarrow ca=bd\Rightarrow abcd=bd^2\)
Thế chú học có hơn ai không mà sao chú nói vậy đấy ngon làm đi
Từ giả thiết: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow ac=b^2\Rightarrow abc=b^3\)
Ta có: \(\frac{a^3-2b^3+c^3}{a+b+c}=\frac{a^3+b^3+c^3-3c^3}{a+b+c}=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a+b+c}\)
Xét: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3-2b^3+c^3}{a+b+c}=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\) là 1 số nguyên (đpcm)
lp 8 mà khó thế -,-
Có \(4=a^4+b^4+c^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(abc\right)^4}=4abc\)\(\Leftrightarrow\)\(-abc\ge-1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}=\frac{a+b+c}{4-abc}\le\frac{a+b+c}{4-1}=\frac{a+b+c}{3}\)
Lại có \(3=a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^4}{9}}{3}=\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^4\le81\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le\frac{a+b+c}{3}\le\frac{3}{3}=1\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
1 .
Từ gt : \(2ab+6bc+2ac=7abc\)và \(a,b,c>0\)
Chia cả hai vế cho abc > 0
\(\Rightarrow\frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=7\)
Đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2z+6x+2y=7\end{cases}}\)
Khi đó : \(C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}\)
\(=\frac{4}{2x+y}+\frac{9}{4x+z}+\frac{4}{y+z}\)
\(\Rightarrow C=\frac{4}{2x+y}+2x+y+\frac{9}{4x+z}+4x+z+\frac{4}{y+z}+y+z\)\(-\left(2x+y+4x+z+y+z\right)\)
\(=\left(\frac{2}{\sqrt{x+2y}}-\sqrt{x+2y}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{4x+z}}-\sqrt{4x+z}\right)^2\)\(+\left(\frac{2}{\sqrt{y+z}}-\sqrt{y+z}\right)^2+17\ge17\)
Khi \(x=\frac{1}{2},y=z=1\)thì \(C=17\)
Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1
2 .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :\(1+b^2\ge2b\)nên
\(\frac{a+1}{1+b^2}=\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)
\(\ge\left(a+1\right)-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}\ge a+1-\frac{ab+b}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b+1}{1+c^2}\ge b+1-\frac{bc+c}{2}\left(2\right)\)
\(\frac{c+1}{1+a^2}\ge c+1-\frac{ca+a}{2}\left(3\right)\)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
\(\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\left(^∗\right)\)
Mặt khác : \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge0\)
Nên \(\left(^∗\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Do abc=1nên ta được \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}=\frac{abc}{ab+b+abc}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ca+a+1}\)\(=\frac{ac}{1+a+ac}+\frac{a}{1+ac+a}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Hình như shi thiếu bước đầu =)))
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{a^2+b^2+b^2+1+2}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{ab+b+1}\)
Tương tự:\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{ca+a+1}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)=\frac{1}{2}\) Vì abc=1
- Ta có \(a b = c d\), suy ra \(a = \frac{c d}{b}\). Thay \(a\) vào biểu thức cần chứng minh:
\(\frac{\left(\right. \frac{c d}{b} \left.\right)^{3} - 2 b^{3} + c^{3}}{\frac{c d}{b} + b + c} = \frac{\frac{c^{3} d^{3}}{b^{3}} - 2 b^{3} + c^{3}}{\frac{c d + b^{2} + b c}{b}} = \frac{c^{3} d^{3} - 2 b^{6} + c^{3} b^{3}}{b^{2} \left(\right. c d + b^{2} + b c \left.\right)}\) - Để biểu thức trên là một số nguyên, ta cần chứng minh rằng tử chia hết cho mẫu. Ta có thể viết lại tử như sau: \(c^{3} d^{3} - 2 b^{6} + c^{3} b^{3} = c^{3} \left(\right. d^{3} + b^{3} \left.\right) - 2 b^{6}\) Và mẫu là: \(b^{2} \left(\right. c d + b^{2} + b c \left.\right)\) Ta lại có \(c d = a b\), nên mẫu trở thành: \(b^{2} \left(\right. a b + b^{2} + b c \left.\right) = b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)\) - Vậy biểu thức ban đầu trở thành: \(\frac{c^{3} \left(\right. d^{3} + b^{3} \left.\right) - 2 b^{6}}{b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)}\) - Ta cần chứng minh \(c^{3} \left(\right. d^{3} + b^{3} \left.\right) - 2 b^{6}\) chia hết cho \(b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)\).- Vì \(a b = c d\), ta có \(d = \frac{a b}{c}\). Thay \(d\) vào biểu thức trên:
\(\frac{c^{3} \left(\right. \left(\right. \frac{a b}{c} \left.\right)^{3} + b^{3} \left.\right) - 2 b^{6}}{b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)} = \frac{c^{3} \left(\right. \frac{a^{3} b^{3}}{c^{3}} + b^{3} \left.\right) - 2 b^{6}}{b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)} = \frac{a^{3} b^{3} + c^{3} b^{3} - 2 b^{6}}{b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)}\) \(= \frac{b^{3} \left(\right. a^{3} + c^{3} - 2 b^{3} \left.\right)}{b^{3} \left(\right. a + b + c \left.\right)} = \frac{a^{3} + c^{3} - 2 b^{3}}{a + b + c}\) - Vậy ta cần chứng minh \(\frac{a^{3} + c^{3} - 2 b^{3}}{a + b + c}\) là một số nguyên. Ta có thể viết lại như sau: \(\frac{a^{3} + c^{3} - 2 b^{3}}{a + b + c} = \frac{a^{3} + c^{3} + b^{3} - 3 b^{3}}{a + b + c} = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 b^{3}}{a + b + c}\) - Ta biết rằng \(a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \left.\right)\). Trong trường hợp này, ta có: \(\frac{a^{3} + c^{3} - 2 b^{3}}{a + b + c} = \frac{a^{3} + c^{3} + b^{3} - 3 b^{3}}{a + b + c}\) - Để chứng minh biểu thức này là một số nguyên, ta cần chứng minh \(a^{3} + c^{3} - 2 b^{3}\) chia hết cho \(a + b + c\).- Ta có thể viết lại \(a^{3} + c^{3} - 2 b^{3} = \left(\right. a^{3} - b^{3} \left.\right) + \left(\right. c^{3} - b^{3} \left.\right) = \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} \left.\right) + \left(\right. c - b \left.\right) \left(\right. c^{2} + c b + b^{2} \left.\right)\).
- Để biểu thức này chia hết cho \(a + b + c\), cần có một mối liên hệ cụ thể giữa \(a , b , c\). Tuy nhiên, với thông tin \(a b = c d\), ta chưa thể suy ra điều này một cách trực tiếp.