Question

[Cong Thanh]

cho tam giác abc nội tiếp o gọi s là điểm chính giữa cung lớn bc kẻ đường kính sk cắt bc tại m ak cắt bc tại d tia phân giác góc aoc cắt as tại q cm kb^2=2km.r

Answer 1

[Tiêu Hưng Thịnh]

TÓM TẮT ĐỀ BÀI

• Cho tam giác \(A B C\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\).
• \(S\) là trung điểm cung lớn \(B C\) (không chứa điểm \(A\)).
• Kẻ đường kính \(S K\), cắt \(B C\) tại \(M\).
• \(A K\) cắt \(B C\) tại \(D\).
• Tia phân giác góc \(\angle A O C\) cắt \(A S\) tại \(Q\).
• Cần chứng minh:
  \(K B^{2} = 2 K M \cdot R\)

---

HƯỚNG GIẢI & CHỨNG MINH

Bước 1: Một vài nhận xét hình học quan trọng

• Vì \(S K\) là đường kính, nên \(\angle S B K = 90^{\circ}\), \(\angle S C K = 90^{\circ}\)
  ⇒ Các điểm \(B , C , K\) cùng nhìn \(S K\) dưới góc vuông từ phía \(S\).
• \(S\) là trung điểm cung lớn \(B C\) ⇒ \(S B = S C\), nên tam giác \(S B C\) cân tại \(S\)

Bước 2: Xét tam giác \(S B K\)

• Trong tam giác vuông \(\triangle S B K\) tại \(B\):
  Áp dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền):

\(K B^{2} = K S \cdot K M (\text{1})\)

Đây là một định lý chuẩn trong hình học với tam giác vuông: nếu \(\angle S B K = 90^{\circ}\), thì:

\(K B^{2} = K S \cdot K M\)

Bước 3: Sử dụng dữ kiện \(K S = 2 R\)

Vì \(S K\) là đường kính, nên độ dài đoạn thẳng:

\(K S = 2 R (\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; S K \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh},\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; K \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{cu} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{l}ạ\text{i})\)

Thế vào (1):

\(K B^{2} = \left(\right. 2 R \left.\right) \cdot K M = 2 K M \cdot R\)

---

KẾT LUẬN:

\(\boxed{K B^{2} = 2 K M \cdot R}\)