Question

[Thanh Xuân]

Đoạn thẳng AB= 2024cm được chia thành 4 đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau là các đoạn thẳng AM,MN,NP và PB. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AM,MN,NP và PB. Biết độ dài đoạn thẳng EH= a cm. Tính độ dài đoạn thẳng FG theo a ?

• 
  
• 
  
• 
  help me bài khó quá

Answer 1

[Trần Tuệ Mỹ]

Để giải bài toán này, ta phân tích từng phần một cách rõ ràng.

---

Giả sử:

Đoạn thẳng \(A B = 2024\) cm, được chia thành 4 đoạn không bằng nhau:

• \(A M\), \(M N\), \(N P\), và \(P B\)

Gọi:

• \(E\) là trung điểm của \(A M\)
• \(F\) là trung điểm của \(M N\)
• \(G\) là trung điểm của \(N P\)
• \(H\) là trung điểm của \(P B\)

=> Khi đó đoạn thẳng \(E H\) đi từ trung điểm đoạn đầu tiên đến trung điểm đoạn cuối cùng, còn \(F G\) đi từ trung điểm đoạn thứ hai đến trung điểm đoạn thứ ba.

---

Ý tưởng giải:

Vì các đoạn thẳng AM, MN, NP, PB nối tiếp nhau trên đoạn AB nên ta gọi độ dài lần lượt là:

• \(A M = a_{1}\)
• \(M N = a_{2}\)
• \(N P = a_{3}\)
• \(P B = a_{4}\)

Khi đó:

\(a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2024\)

Trung điểm của mỗi đoạn sẽ nằm ở chính giữa mỗi đoạn đó, nên ta tính tọa độ tương đối của các điểm trung điểm trên đoạn AB.

Gán điểm gốc A tại 0, rồi ta tính:

• \(E = \frac{A M}{2} = \frac{a_{1}}{2}\)
• \(F = A M + \frac{M N}{2} = a_{1} + \frac{a_{2}}{2}\)
• \(G = A M + M N + \frac{N P}{2} = a_{1} + a_{2} + \frac{a_{3}}{2}\)
• \(H = A M + M N + N P + \frac{P B}{2} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \frac{a_{4}}{2}\)

---

Vậy độ dài đoạn thẳng EH là:

\(E H = H - E = \left(\right. a_{1} + a_{2} + a_{3} + \frac{a_{4}}{2} \left.\right) - \frac{a_{1}}{2} = \frac{a_{1}}{2} + a_{2} + a_{3} + \frac{a_{4}}{2}\)

Đặt:

\(& E H = a \Rightarrow \frac{a_{1}}{2} + a_{2} + a_{3} + \frac{a_{4}}{2} = a & & (\text{1})\)

---

Tính FG:

\(& F G = G - F = \left(\right. a_{1} + a_{2} + \frac{a_{3}}{2} \left.\right) - \left(\right. a_{1} + \frac{a_{2}}{2} \left.\right) = \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{2} = \frac{a_{2} + a_{3}}{2} & & (\text{2})\)

---

Từ (1), ta rút ra:

\(a = \frac{a_{1} + a_{4}}{2} + a_{2} + a_{3} \Rightarrow a_{2} + a_{3} = a - \frac{a_{1} + a_{4}}{2}\)

---

Thế vào (2):

\(F G = \frac{1}{2} \left(\right. a_{2} + a_{3} \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. a - \frac{a_{1} + a_{4}}{2} \left.\right) = \frac{a}{2} - \frac{a_{1} + a_{4}}{4}\)

---

✅ Kết luận:

\(F G = \frac{a}{2} - \frac{a_{1} + a_{4}}{4}\)

Độ dài đoạn FG phụ thuộc vào độ dài của hai đoạn ngoài cùng \(A M = a_{1}\) và \(P B = a_{4}\), ngoài giá trị \(a\).