Question

[Đào Hải Bách]

Viên gạch men bằng kim cương và netherite dùng để lát nền nhà là một hình vuông có cạnh bằng 80
cm. Mỗi viên gạch có 4 bông hoa, mỗi bông hoa gồm 4
cánh hoa. Mỗi cánh hoa là phần giao nhau của hai hình tròn có
cùng bán kính và khoảng cách giữa hai tâm là 20 √ 2  cm (hai mươi nhân căn bậc hai của 2) . Ước tính ở công đoạn
tráng men, phần màu xanh có chi phí 90 nghìn
đồng trên một căng ti mét vuông, còn phần màu trắng có chi phí 70 nghìn đồng trên một căng ti mét vuông. Tính chi phí để làm ra 1 viên gạch là bao nhiêu triệu đồng?

Answer 1

[Đào Thảo Nguyên]

1. Tính diện tích viên gạch:

• Viên gạch hình vuông có cạnh 80 cm, vậy diện tích viên gạch là: \(80 \times 80 = 6400\) cm².

2. Tính diện tích một cánh hoa:

• Mỗi cánh hoa là phần giao nhau của hai hình tròn có cùng bán kính \(r\) và khoảng cách giữa hai tâm là \(d = 20 \sqrt{2}\) cm. Vì phần giao nhau này được tạo bởi hai hình tròn có cùng bán kính, ta có thể xem nó như hai cung tròn tạo thành hình thấu kính.
• Để tính diện tích phần giao nhau này, ta cần xác định góc \(\theta\) (tính bằng radian) mà mỗi cung tròn chắn tại tâm của hình tròn. Vì khoảng cách giữa hai tâm là \(d = 20 \sqrt{2}\) và bán kính là \(r\), ta có thể sử dụng định lý cosin để tìm góc \(\theta\):
• • \(d^{2} = r^{2} + r^{2} - 2 r^{2} cos ⁡ \left(\right. \theta \left.\right)\)
  • \(\left(\right. 20 \sqrt{2} \left.\right)^{2} = 2 r^{2} - 2 r^{2} cos ⁡ \left(\right. \theta \left.\right)\)
  • \(800 = 2 r^{2} \left(\right. 1 - cos ⁡ \left(\right. \theta \left.\right) \left.\right)\)
• Để tìm \(r\), ta nhận thấy rằng khi hai hình tròn giao nhau tạo thành hình thấu kính đối xứng, thì nửa khoảng cách giữa hai tâm, tức là \(10 \sqrt{2}\), sẽ tạo thành một tam giác vuông với bán kính \(r\) và đường cao từ tâm đến dây cung chung của hai hình tròn. Do đó:
• • \(r^{2} = \left(\right. 10 \sqrt{2} \left.\right)^{2} + \left(\right. r - h \left.\right)^{2}\), trong đó \(h\) là khoảng cách từ tâm hình tròn đến dây cung chung.
  • Tuy nhiên, cách tiếp cận này vẫn phức tạp. Ta có thể nhận thấy rằng hình thấu kính này thực chất là hai phần hình viên phân. Diện tích mỗi hình viên phân bằng diện tích hình quạt trừ diện tích tam giác.
• Cách tính diện tích cánh hoa đơn giản hơn:
• • Nhận thấy rằng khoảng cách giữa hai tâm \(d = 20 \sqrt{2}\) và nếu ta vẽ đoạn nối hai tâm và hai giao điểm của hai đường tròn, ta sẽ được hai tam giác vuông cân bằng nhau, cạnh góc vuông bằng \(20 \sqrt{2}\)/2 = \(10 \sqrt{2}\).
  • Vậy bán kính \(r\) của đường tròn bằng: \(r = \sqrt{\left(\right. 10 \sqrt{2} \left.\right)^{2} + \left(\right. 10 \sqrt{2} \left.\right)^{2}}\) = \(\sqrt{200 + 200}\) = 20 cm
  • Diện tích mỗi hình quạt tròn là: \(S_{q u ạ t} = \frac{1}{4} \pi r^{2} = \frac{1}{4} \pi \left(\right. 20 \left.\right)^{2} = 100 \pi\)
  • Diện tích tam giác vuông cân là: \(S_{t a m g i \overset{ˊ}{a} c} = \frac{1}{2} \left(\right. 20 \left.\right) \left(\right. 20 \left.\right) = 200\)
  • Diện tích mỗi cánh hoa là: \(2 \times \left(\right. S_{q u ạ t} - S_{t a m g i \overset{ˊ}{a} c} \left.\right)\) = \(2 \times \left(\right. 100 \pi - 200 \left.\right)\) = \(200 \pi - 400 \approx 228.32\) cm²

3. Tính diện tích 4 bông hoa:

• Mỗi bông hoa có 4 cánh, vậy diện tích một bông hoa là: \(4 \times \left(\right. 200 \pi - 400 \left.\right) = 800 \pi - 1600 \approx 913.27\) cm²
• Viên gạch có 4 bông hoa, vậy tổng diện tích các bông hoa là: \(4 \times \left(\right. 800 \pi - 1600 \left.\right) = 3200 \pi - 6400 \approx 3653.09\) cm²

4. Tính diện tích phần màu trắng:

• Diện tích phần màu trắng = Diện tích viên gạch - Diện tích các bông hoa
• Diện tích phần màu trắng = \(6400 - \left(\right. 3200 \pi - 6400 \left.\right) = 12800 - 3200 \pi \approx 2746.91\) cm²

5. Tính chi phí:

• Chi phí phần màu xanh = Diện tích bông hoa × Chi phí trên 1 cm² = \(3653.09 \times 90 , 000\) = 328,778,100 đồng
• Chi phí phần màu trắng = Diện tích phần màu trắng × Chi phí trên 1 cm² = \(2746.91 \times 70 , 000\) = 192,283,700 đồng
• Tổng chi phí = Chi phí phần màu xanh + Chi phí phần màu trắng = 328,778,100 + 192,283,700 = 521,061,800 đồng

6. Đổi sang triệu đồng:

• Tổng chi phí = 521,061,800 đồng = 521.0618 triệu đồng

Kết luận: Chi phí để làm ra 1 viên gạch là khoảng 521.0618 triệu đồng.