Question

[Trần Khánh Phương]

Cho ΔABC cân tại A. Kẻ phân giác AD (D∈BC). Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE=AB. Trên tia phân giác của góc EAC lấy điểm F sao cho AF=BD. Cm:

a) AD⊥BC

b) EF=AD

c) AF//BC

d) Các điểm E, F, C thẳng hàng.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔADB và ΔADC có

AD chung

\(\hat{DAB}=\hat{DAC}\)

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{ADC}\)

mà \(\hat{ADB}+\hat{ADC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{ADB}=\hat{ADC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>AD⊥BC tại D

b: Xét ΔCAE có

CA là đường trung tuyến

\(CA=\frac{BE}{2}\left(=AB\right)\)

Do đó: ΔCAE vuông tại C

=>CE⊥CA

mà AD⊥BC

nên AD//CE

=>\(\hat{BAD}=\hat{AEC}\)

Ta có: AF là phân giác của góc EAC

=>\(\hat{EAF}=\hat{FAC}=\frac{\hat{EAC}}{2}\) (1)

Xét ΔABC có \(\hat{EAC}\) là góc ngoài tại đỉnh A

nên \(\hat{EAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=2\cdot\hat{ABC}\)

=>\(\hat{ABC}=\hat{\frac{EAC}{2}}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{EAF}=\hat{FAC}=\hat{ABC}=\hat{ACB}\)

Xét ΔEAF và ΔABD có

\(\hat{EAF}=\hat{ABD}\)

EA=AB

\(\hat{AEF}=\hat{DBA}\)

Do đó: ΔEAF=ΔABD

=>EF=AD

c: ta có: \(\hat{EAF}=\hat{ABC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên AF//BC

Answer 2

[Đào Thảo Nguyên]

a) AD⊥BC

Vì ΔABC cân tại A nên AB = AC và \(\angle A B C = \angle A C B\). AD là phân giác của \(\angle B A C\) nên \(\angle B A D = \angle C A D\). Xét ΔABD và ΔACD, ta có:

• AB = AC (ΔABC cân tại A)
• \(\angle B A D = \angle C A D\) (AD là phân giác)
• AD là cạnh chung Vậy ΔABD = ΔACD (c-g-c). Suy ra BD = CD và \(\angle A D B = \angle A D C\). Vì \(\angle A D B + \angle A D C = 18 0^{\circ}\) (hai góc kề bù) nên \(\angle A D B = \angle A D C = 9 0^{\circ}\). Vậy AD ⊥ BC.

b) EF=AD

Vì AD là phân giác của \(\angle B A C\) nên \(\angle B A D = \frac{1}{2} \angle B A C\). Vì AF là phân giác của \(\angle E A C\) nên \(\angle E A F = \frac{1}{2} \angle E A C\). Ta có \(\angle B A C + \angle E A C = 18 0^{\circ}\) (hai góc kề bù). Suy ra \(\frac{1}{2} \angle B A C + \frac{1}{2} \angle E A C = 9 0^{\circ}\), hay \(\angle B A D + \angle E A F = 9 0^{\circ}\). Ta có \(\angle D A F = \angle B A D + \angle B A E + \angle E A F = \angle B A D + \angle E A C + \angle E A F\). Mà \(\angle E A C = 18 0^{\circ} - \angle B A C\) nên \(\angle D A F = \angle B A D + 18 0^{\circ} - \angle B A C + \angle E A F\) \(= 9 0^{\circ} + \angle B A E = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} - \angle B A C\). Xét ΔABD vuông tại D, ta có \(A B^{2} = A D^{2} + B D^{2}\). Xét ΔAEF, ta có AE = AB và AF = BD (gt). Ta cần chứng minh ΔABD = ΔEFA. Ta có:

• AB = AE (gt)
• BD = AF (gt)
• \(\angle A B D = \angle A E F\) (cùng phụ với góc \(\angle A C B\)) Vậy ΔABD = ΔEFA (c-g-c). Suy ra EF = AD.

c) AF//BC

Ta có \(\angle D A F = 9 0^{\circ}\). Vì ΔABD = ΔEFA (cmt) nên \(\angle B A D = \angle A E F\). Ta có \(\angle A E F + \angle A B E = 18 0^{\circ}\) (hai góc trong cùng phía). Mà \(\angle A E F = \angle B A D\) và \(\angle B A D + \angle A B D = 9 0^{\circ}\) (ΔABD vuông tại D). Suy ra \(\angle A E F + \angle A B E = 18 0^{\circ}\). Do đó \(\angle A B E = 9 0^{\circ}\). Vậy AF // BC (vì \(\angle D A F = 9 0^{\circ}\) và AD ⊥ BC).

d) Các điểm E, F, C thẳng hàng

Ta có \(\angle F A C = \frac{1}{2} \angle E A C\). Mà \(\angle E A C = 18 0^{\circ} - \angle B A C\) nên \(\angle F A C = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} - \angle B A C \left.\right) = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B A C\). Vì ΔABC cân tại A nên \(\angle A B C = \angle A C B = \frac{1}{2} \left(\right. 18 0^{\circ} - \angle B A C \left.\right) = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B A C\). Suy ra \(\angle F A C = \angle A C B\). Vì AF // BC (cmt) nên \(\angle A F C = \angle A C B\) (hai góc so le trong). Vậy \(\angle F A C = \angle A F C\). Suy ra ΔAFC cân tại C. Do đó AC = FC. Mà AB = AC (ΔABC cân tại A) và AE = AB (gt). Suy ra AE = AC = FC. Ta có \(\angle A E F = \angle B A D\) (ΔABD = ΔEFA). Mà \(\angle B A D = \angle A C B\) (ΔABD = ΔACD). Suy ra \(\angle A E F = \angle A C B\). Ta có \(\angle A E C + \angle A C B = 18 0^{\circ}\) (tứ giác AEBC nội tiếp). Suy ra \(\angle A E C + \angle A E F = 18 0^{\circ}\). Do đó \(\angle F E C = 18 0^{\circ}\). Vậy các điểm E, F, C thẳng hàng.