Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔBAD và ΔBED có
BA=BE
\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\) (BD là phân giác của góc ABE)
BD chung
Do đó: ΔBAD=ΔBED
=>DA=DE
b: ΔBAD=ΔBED
=>\(\hat{BAD}=\hat{BED}\)
=>\(\hat{BED}=90^0\)
=>DE⊥BC
mà AH⊥BC
nên DE//AH
c: Xét ΔMHA và ΔMDK có
MH=MD
\(\hat{MHA}=\hat{MDK}\) (hai góc so le trong, HA//DK)
HA=DK
Do đó: ΔMHA=ΔMDK
=>\(\hat{HMA}=\hat{DMK}\)
mà \(\hat{HMA}+\hat{AMD}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AMD}+\hat{DMK}=180^0\)
=>A,M,K thẳng hàng
Chúng ta sẽ giải từng câu hỏi trong bài toán này.
Câu a) Chứng minh ∆ABD = ∆EBD và AD = ED
- Điều kiện:
- ∆ABC vuông tại A (AB < AC).
- Tia phân giác của góc B cắt AC tại D.
- Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
- Vẽ AH BC tại H.
- Chứng minh:
- Xét các tam giác ∆ABD và ∆EBD:
Vậy, theo Tiêu chuẩn góc-cạnh-góc (Axiom SAS), ta có:
\(\Delta A B D = \Delta E B D\) - Cả hai tam giác ∆ABD và ∆EBD có cạnh chung BD.
- AB = BE (do đề bài cho BE = BA).
- Góc ABD = Góc EBD (vì tia BD là tia phân giác của góc ABC, nên hai góc này bằng nhau).
- Kết luận AD = ED:
- Do ∆ABD = ∆EBD (theo chứng minh trên), nên các cạnh tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau.
- Vậy, AD = ED.
Câu b) Chứng minh AH // DE
- Xét đoạn AH và DE:
- Từ điều kiện bài toán, chúng ta có điểm H là giao điểm của đường vuông góc AH với cạnh BC, tức là AH ⊥ BC.
- Tia DE được dựng sao cho DE là một đoạn thẳng trong cùng một mặt phẳng với BC, và điểm D là điểm phân giác của góc B.
- Chứng minh AH // DE:
- Vì ∆ABD = ∆EBD (chứng minh ở câu a) nên các góc tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau. Đặc biệt, ∠BAD = ∠BED.
- Ta có AH ⊥ BC và ∠BAD = ∠BED. Do đó, theo tính chất của góc tạo thành giữa đường vuông góc và đoạn thẳng, ta suy ra rằng AH // DE.
Câu c) Chứng minh A, M, K thẳng hàng
- Định nghĩa các điểm:
- Trên tia DE, lấy điểm K sao cho DK = AH.
- M là trung điểm của DH, tức là:
\(\text{DM} = \text{MH}\)
- Chứng minh A, M, K thẳng hàng:
- Ta đã biết rằng AH // DE, và từ câu b) đã chứng minh rằng AH và DE song song.
- M là trung điểm của DH, tức là DM = MH. Đồng thời, ta có DK = AH (theo giả thiết).
- Vì AH // DE và M là trung điểm của DH, ta có thể sử dụng tính chất của các đường trung tuyến trong tam giác vuông để suy ra rằng các điểm A, M, K nằm trên cùng một đường thẳng.
Kết luận:
- a) ∆ABD = ∆EBD và AD = ED.
- b) AH // DE.
- c) A, M, K thẳng hàng.
a: Xét ΔAHB và ΔAHC có
AB=AC
\(\hat{HAB}=\hat{HAC}\)
AH chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHC
=>\(\hat{AHB}=\hat{AHC}\)
mà \(\hat{AHB}+\hat{AHC}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{AHB}=\hat{AHC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
=>AH⊥BC tại H
b: ΔAHB=ΔAHC
=>HB=HC
=>H là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
AH,BD là các đường trung tuyến
AH cắt BD tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(AG=\frac23AH=\frac23\cdot6=4\left(\operatorname{cm}\right)\)
c: Ta có: HK//AC
=>\(\hat{KHB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)
mà \(\hat{KBH}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)
nên \(\hat{KBH}=\hat{KHB}\)
=>KB=KH
Ta có: HK//AC
=>\(\hat{KHA}=\hat{HAC}\) (hai góc so le trong)
mà \(\hat{HAC}=\hat{KAH}\) (AH là phân giác của góc BAC)
nên \(\hat{KHA}=\hat{KAH}\)
=>KH=KA
mà KB=KH
nên KA=KB
=>K là trung điểm của AB
Xét ΔABC có
K là trung điểm của AB
G là trọng tâm
Do đó: C,G,K thẳng hàng
a) Chứng minh rằng tam giác AHB = tam giác AHC và AH vuông góc với BC
✳️ Dữ kiện:
- Tam giác ABC cân tại A ⇒ \(A B = A C\)
- \(A H\) là phân giác ⇒ \(\hat{B \hat{A} H} = \hat{C \hat{A} H}\)
✳️ Xét 2 tam giác \(\triangle A H B\) và \(\triangle A H C\):
So sánh:
- \(A B = A C\) (do tam giác cân tại A)
- \(\hat{B \hat{A} H} = \hat{C \hat{A} H}\)(do \(A H\) là phân giác)
- Cạnh chung: \(A H\)
✅ Suy ra:
\(\triangle A H B = \triangle A H C (\text{c}-\text{g}-\text{c})\)
✳️ Suy ra: \(H B = H C\) và \(\hat{A H B} = \hat{A H C}\)
→ Mà \(H B = H C\), nên \(H\) cách đều \(B\) và \(C\)
⇒ \(A H\) là đường phân giác đồng thời là trung tuyến trong tam giác cân
→ Trong tam giác cân, đường phân giác ứng với đỉnh cân còn là đường cao
✅ Vậy \(A H \bot B C\)
b) Điểm D là trung điểm của AC, BD cắt AH tại G. Biết AH = 6cm. Tính AG
✳️ Dữ kiện:
- \(D\): trung điểm của \(A C\)
- \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\)
- \(\triangle A B C\) cân tại A ⇒ \(A B = A C\)
- Mà \(D\): trung điểm của \(A C\) ⇒ không đối xứng hoàn toàn, nhưng vẫn đủ điều kiện dùng định lý Menelaus hoặc định lý trọng tâm nếu phù hợp
→ Tuy nhiên, vì:
- \(D\) là trung điểm \(A C\)
- \(A B = A C\) ⇒ \(B\) đối diện với cạnh có điểm trung điểm
- Áp dụng định lý trung tuyến, trong tam giác \(A B C\), khi nối đỉnh \(B\) với trung điểm \(D\) của \(A C\), thì:
\(\text{Giao}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B D \&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; A H \&\text{nbsp};(\text{trong}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{c} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{AH}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{cao}) \Rightarrow G \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tr}ọ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; \triangle A B C\)
✳️ Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\)
⇒ Trong tam giác, trọng tâm chia đường trung tuyến theo tỉ lệ:
\(A G : G H = 2 : 1\)
→ \(A H = A G + G H = 3 p h \overset{ˋ}{\hat{a}} n\)
→ \(A G = \frac{2}{3} \cdot A H = \frac{2}{3} \cdot 6 = \boxed{4 \&\text{nbsp};\text{cm}}\)
c) Từ điểm H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại K. Chứng minh ba điểm C, G, K thẳng hàng
✳️ Dữ kiện:
- \(H K \parallel A C\), \(K \in A B\)
- G là giao điểm của \(A H\) và \(B D\)
- D là trung điểm của \(A C\)
✳️ Ý tưởng:
Ta sẽ sử dụng định lý Talet hoặc đồng dạng tam giác
✳️ Phân tích:
Vì \(H K \parallel A C\), và \(H \in A H\), \(K \in A B\), nên:
\(\triangle H A K sim \triangle C A C \left(\right. đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{d}ạ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{do}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};-\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c} \left.\right)\)
Mặt khác, trong tam giác \(A B C\), ta có:
- \(D\) là trung điểm của \(A C\)
- \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\) (đã biết)
- Kẻ \(H K \parallel A C\), cắt \(A B\) tại \(K\)
→ Xét hình thang \(K H C A\), có \(H K \parallel A C\)
Kết luận quan trọng:
- Đường thẳng đi qua \(H\) song song với \(A C\) cắt \(A B\) tại \(K\)
- Khi đó, do cấu trúc cân, trung điểm, trọng tâm → ta có thể chứng minh 3 điểm \(C , G , K\) thẳng hàng bằng định lý Menelaus đảo hoặc dùng tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác
✅ Cách chứng minh gọn:
Trong tam giác cân \(A B C\):
- \(G\): là trọng tâm
- \(D\): trung điểm \(A C\)
- \(B D\) cắt \(A H\) tại \(G\)
- \(H K \parallel A C\) ⇒ theo định lý giao tuyến phụ, \(C K\) cắt \(B D\) tại trọng tâm \(G\)
→ Ba điểm \(C , G , K\) thẳng hàng.
✅ Kết luận:
- a) \(\triangle A H B = \triangle A H C\), và \(A H \bot B C\)
- b) \(A G = 4 \&\text{nbsp};\text{cm}\)
- c) \(C , G , K\) thẳng hàng
A B C G H
a) Ta có:
\(\Delta ABC\) cân tại A => Đường cao AH đồng thời cũng là đường trung tuyến
\(\Rightarrow BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{6}{2}=3\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H, ta có:
\(AH^2+BH^2=AB^2\) ( Định lý Py-ta-go )
\(\Rightarrow AH^2=AB^2-BH^2=5^2-3^2=25-9=16\left(=\left(\pm4\right)^2\right)\)
\(\Rightarrow AH=4\left(cm\right)\) (AH>0)
Vậy BH=3 cm; AH=4 cm
Tham khảo hình bài làm đầy đủ :
Câu hỏi của Nguyễn Hoàng Bảo Nhi - Toán lớp 0 | Học trực tuyến
Chúc bn học tốt!
a, theo pytago ta có:
AB2+AC2=BC2 <=> AC=\(\sqrt{10^2-6^2}\)=8 (cm)
so sánh: BAC>ABC>ACB vì BC>AC>AB
b, vì A là trung điểm BD nên CA là trung tuyến của tam giác DBC
mà CA\(\perp\)BD nên CA là đường cao của tam giác DBC
=> CA vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác DBC nên DBC cân ở C
a)\(\Delta ABH\) vuông tại H có:
BH2 =AB2 -AH2 =132 -122 =25( ĐL Pytago)
=> BH=5 cm
BC=BH+HC=5+16=21 cm
\(\Delta AHC\) vuông tại H có:
AH2 + HC2 =AC2 ( đl Pytago)
=> AC2 =122 + 162 =20 cm
b) \(\Delta AHB\) vuông tại H có: AB2 = AH2 +BH2 ( ĐL Pytago)
=> BH2 =AB2 - AH2 =132 - 122 =25
=> BH=5 cm
BC= BH+HC=5+16=21 cm
\(\Delta AHC\) vuông tại H có: AC2 = AH2 +HC2 ( đL Pytago)
=> AC2 = 122 + 162 =400
=> AC= 20 cm
a/ Xét tam giác BEM và tam giác CFM có:
góc BEM = góc CFM = 900 (GT)
BM = MC (AM là trung tuyến t/g ABC)
góc B = góc C (t/g ABC cân)
=> tam giác BEM = tam giác CFM
b/ Ta có: AB = AC (t/g ABC cân)
BE = CF (t/g BEM = t/g CFM)
=> AE = AF
Xét hai tam giác vuông AEM và AFM có:
AE = AF (cmt)
AM: cạnh chung
=> tam giác AEM = tam giác AFM
=> ME = MF
Ta có: AE = AF; ME = MF
=> AM là trung trực của EF
c/ Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có:
AB = AC (GT)
AD: cạnh chung
=> tam giác ABD = tam giác ACD
=> BD = CD
Ta có: AB = AC; BD = CD
=> AD là trung trực của EF
Ta có: AM là trung trực của EF
AD là trung trực của EF
=> AM trùng AD
Vậy A;M;D thẳng hàng.
---> đpcm.
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
AB=AC
AH chung
Do đó; ΔAHB=ΔAHC
=>HB=HC
Do tam giác ABC cân tại A, ta có:
⇒ Vì tam giác ABC cân tại A, nên AH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác, tức:
Suy ra:
\(B H = H C\)
Vậy: BH = CH (đpcm) ✅