Question

[Hoàng Phúc Khang]

Bài 4. Cho các số 3; 7; 5; 3; 2; 1 được viết lên vòng tròn theo thứ tự ngẫu nhiên. Mỗi lần ta chọn ra hai số cạnh nhau bất kì và cộng thêm mỗi số 1 đơn vị. Hỏi sau một số lần thực hiện thao tác trên, các

số trên vòng tròn có thể đều bằng nhau không?

Answer 1

[trần doãn thành]

1. Số tổng của các số ban đầu: Ban đầu, các số trên vòng tròn là:
   \(3 , 7 , 5 , 3 , 2 , 1\)
   Tổng của các số này là:
   \(3 + 7 + 5 + 3 + 2 + 1 = 21\)
2. Tính chất của thao tác cộng thêm 1 đơn vị: Mỗi lần chọn hai số cạnh nhau và cộng thêm 1 đơn vị cho mỗi số, tổng của các số trên vòng tròn sẽ tăng lên 2 (mỗi số cộng 1 đơn vị, tổng cộng hai số cạnh nhau). Vì vậy, sau mỗi thao tác, tổng của các số sẽ tăng lên 2 đơn vị.
3. Tổng của các số sau một số lần thao tác: Nếu thực hiện \(k\) lần thao tác, tổng của các số sẽ tăng lên \(2 k\) đơn vị. Tức là, tổng mới sau \(k\) lần thao tác sẽ là:
   \(21 + 2 k\)
   Vì vậy, tổng của các số sau \(k\) lần thao tác phải luôn là một số lẻ (vì ban đầu tổng là 21, một số lẻ).
4. Điều kiện để các số đều bằng nhau: Nếu sau một số thao tác nào đó, các số trên vòng tròn đều bằng nhau, giả sử mỗi số là \(x\), thì tổng của các số sẽ là \(6 x\) (vì có 6 số). Do đó, ta có phương trình:
   \(6 x = 21 + 2 k\)
   Ta muốn \(6 x\) phải bằng tổng của các số, tức là một số chia hết cho 6. Tuy nhiên, xét phương trình \(21 + 2 k\), ta thấy rằng tổng này không thể chia hết cho 6 vì 21 chia cho 6 có dư 3, trong khi 2k luôn chia hết cho 2. Do đó, tổng của các số sẽ luôn có dư khi chia cho 6.

VẬY:

Vì tổng của các số không thể chia hết cho 6, nên sau một số lần thao tác, các số trên vòng tròn không thể đều bằng nhau.

Answer 2

[Nguyễn Thế Nhật Duy]

1. Số tổng của các số ban đầu: Ban đầu, các số trên vòng tròn là:
   \(3 , 7 , 5 , 3 , 2 , 1\)
   Tổng của các số này là:
   \(3 + 7 + 5 + 3 + 2 + 1 = 21\)
2. Tính chất của thao tác cộng thêm 1 đơn vị: Mỗi lần chọn hai số cạnh nhau và cộng thêm 1 đơn vị cho mỗi số, tổng của các số trên vòng tròn sẽ tăng lên 2 (mỗi số cộng 1 đơn vị, tổng cộng hai số cạnh nhau). Vì vậy, sau mỗi thao tác, tổng của các số sẽ tăng lên 2 đơn vị.
3. Tổng của các số sau một số lần thao tác: Nếu thực hiện \(k\) lần thao tác, tổng của các số sẽ tăng lên \(2 k\) đơn vị. Tức là, tổng mới sau \(k\) lần thao tác sẽ là:
   \(21 + 2 k\)
   Vì vậy, tổng của các số sau \(k\) lần thao tác phải luôn là một số lẻ (vì ban đầu tổng là 21, một số lẻ).
4. Điều kiện để các số đều bằng nhau: Nếu sau một số thao tác nào đó, các số trên vòng tròn đều bằng nhau, giả sử mỗi số là \(x\), thì tổng của các số sẽ là \(6 x\) (vì có 6 số). Do đó, ta có phương trình:
   \(6 x = 21 + 2 k\)
   Ta muốn \(6 x\) phải bằng tổng của các số, tức là một số chia hết cho 6. Tuy nhiên, xét phương trình \(21 + 2 k\), ta thấy rằng tổng này không thể chia hết cho 6 vì 21 chia cho 6 có dư 3, trong khi 2k luôn chia hết cho 2. Do đó, tổng của các số sẽ luôn có dư khi chia cho 6.

VẬY:

Vì tổng của các số không thể chia hết cho 6, nên sau một số lần thao tác, các số trên vòng tròn không thể đều bằng nhau.

nhớ tick nha!