Question

[Khánh Nguyễn Ngọc]

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC= 60 độ và có Bh là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM=AB
a) Chứng minh tam giác ABM đều
b) Chứng minh tam giác AHM cân và BH là trung trực của AM
c) Kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với BH, đường thẳng này cắt BH tại N và cắt BA tại D. Chứng minh tam giác BCD đều
d) Chứng minh N là trung điểm của CD
e) Chứng minh D, H, M thảng hàng
f) Chứng minh HC=2AH

Answer 1

[Dinhhuy]

a) Ta có: AB = AM; \(\hat{B}=60^{)}\) => △ABM đều => \(\hat{BMA}=60^{O}\)

b) Xét △AHB vuông tại A và △BMH vuông tại M có:

\(\hat{ABH}=\hat{HBM}\) (BH là tia phân giác)

AB = BM (gt)

=> △AHB = △BMH (cgv-gnk)

=> AH = HM => △AHM cân tại H => \(\hat{HAM}=\hat{HMA}\)

Gọi giao điểm của BH và AM là G, ta có:

Xét △AHG và △MHG có:

AH = HM (cmt)

\(\hat{HMA}=\hat{HAM}\)

AH chung

=> △AHG = △MHG (cgc) => \(\hat{AGH}=\hat{MGH}\) ; AG = GM (1.1)

Hai góc kề bù

=> \(\hat{AGH}=\hat{MGH}=\frac{180^{O}}{2}=90^{O}\) (1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta được BH kà đường trung trực AM

c) Ta có: BN ⊥ AM, BN ⊥ DC => AM // DC

\(\Rightarrow\hat{BMA}=\hat{BCD}=60^{O}\)

Mà \(\hat{ABC}=60^{O}\)

=> △BCD đều

d) Xét △DBN và △CBN cùng vuông tại N có:

BN chung

\(\hat{B_1}=\hat{B_2}\)

=> △DBN = △CBN (cgv-gnk) => DN = NC

Hay N là trung điểm DC

Answer 2

[Dinhhuy]

e) Ta có: \(\hat{B_2}=\frac{60^{O}}{2}=30^{O}\)

\(\hat{BMH}=90^{O}\)

Áp dụng tính chất cộng góc ta được: \(\hat{BHM}=60^{O}\)

Xét △HDN và △HCN cùng vuông tại N có:

DN = NC (cmt)

HN chung

=> △HDN = △HCN (cgv - cgv)

=> \(\hat{DHN}=\hat{CHN}=60^{O}\)

Mà \(\hat{BHN}=180^{O}\)

=> \(\hat{BHN}+\hat{DHN}-\hat{CHN}=180^{O}\)

\(\hat{BDM}=180^{O}\)

Hay D, M, H thẳng hàng