Câu hỏi của Nguyễn Vũ Nam

Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn AB
a)C/m △ABC cân tại A...

Nguyễn Việt Hoàn · Accepted Answer

Hình vẽ: (Bạn nên tự vẽ hình theo mô tả để dễ theo dõi)

Vẽ tam giác nhọn ABC với AB < AC.
Kẻ đường cao AD (D thuộc BC).
Lấy M đối xứng với D qua đường thẳng AB.
Lấy N đối xứng với D qua đường thẳng AC.
Đường thẳng MN cắt AB tại F và cắt AC tại E.

Phân tích ban đầu:

AB là đường trung trực của DM có nghĩa là mọi điểm trên AB cách đều D và M. Đặc biệt, AD = AM và FD = FM (vì F thuộc AB). Cũng có nghĩa là DM ⊥ AB.
AC là đường trung trực của DN có nghĩa là mọi điểm trên AC cách đều D và N. Đặc biệt, AD = AN và ED = EN (vì E thuộc AC). Cũng có nghĩa là DN ⊥ AC.

a) Chứng minh △AMN cân tại A (Lưu ý: Đề bài yêu cầu C/m △ABC cân tại A là không chính xác vì giả thiết cho AB < AC)

Vì AB là đường trung trực của DM và A thuộc AB nên AD = AM (1).
Vì AC là đường trung trực của DN và A thuộc AC nên AD = AN (2).
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN.
Do đó, △AMN là tam giác cân tại A.

(Ghi chú: Không thể chứng minh △ABC cân tại A vì điều đó mâu thuẫn với giả thiết AB < AC. Rất có thể đề bài có sự nhầm lẫn ở câu a và ý đúng là chứng minh △AMN cân tại A)

b) Chứng minh DA là tia phân giác của góc EDF

Để chứng minh DA là tia phân giác của góc EDF, ta cần chứng minh ∠ADE = ∠ADF.

Xét phép đối xứng qua trục AC:
- Biến D thành N.
- Biến A thành A (vì A thuộc AC).
- Biến E thành E (vì E thuộc AC).
- Do đó, phép đối xứng trục AC biến tam giác ADE thành tam giác ANE.
- Suy ra: △ADE = △ANE (c.c.c hoặc tính chất phép đối xứng)
- Vậy ∠ADE = ∠ANE (góc tương ứng). (3)
Xét phép đối xứng qua trục AB:
- Biến D thành M.
- Biến A thành A (vì A thuộc AB).
- Biến F thành F (vì F thuộc AB).
- Do đó, phép đối xứng trục AB biến tam giác ADF thành tam giác AMF.
- Suy ra: △ADF = △AMF (c.c.c hoặc tính chất phép đối xứng)
- Vậy ∠ADF = ∠AMF (góc tương ứng). (4)
Xét tam giác AMN cân tại A (chứng minh ở câu a), ta có:
- ∠ANM = ∠AMN (góc đáy).
- Vì E thuộc đường thẳng MN nên ∠ANE = ∠ANM.
- Vì F thuộc đường thẳng MN nên ∠AMF = ∠AMN.
- Do đó, ∠ANE = ∠AMF. (5)
Từ (3), (4), và (5) suy ra: ∠ADE = ∠ADF.
Vậy DA là tia phân giác của góc EDF.

c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

Ta sẽ sử dụng định lý Ceva dạng sin trong tam giác ABC đối với các đường thẳng AD, BE, CF. Ba đường thẳng này đồng quy khi và chỉ khi:

(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * (sin ∠ACF / sin ∠BCF) * (sin ∠CBE / sin ∠ABE) = 1 (*)

Tính các tỉ số sin:
- Áp dụng định lý sin cho △ACF và △BCF:
- - Trong △ACF: AF / sin(∠ACF) = CF / sin(∠CAF) = CF / sin(A). Suy ra sin(∠ACF) = (AF/CF) * sin(A).
  - Trong △BCF: BF / sin(∠BCF) = CF / sin(∠CBF) = CF / sin(B). Suy ra sin(∠BCF) = (BF/CF) * sin(B).
  - Tỉ số: sin(∠ACF) / sin(∠BCF) = (AF/BF) * (sin(A)/sin(B)).
- Áp dụng định lý sin cho △ABE và △CBE:
- - Trong △ABE: AE / sin(∠ABE) = BE / sin(∠BAE) = BE / sin(A). Suy ra sin(∠ABE) = (AE/BE) * sin(A).
  - Trong △CBE: CE / sin(∠CBE) = BE / sin(∠BCE) = BE / sin(C). Suy ra sin(∠CBE) = (CE/BE) * sin(C).
  - Tỉ số: sin(∠CBE) / sin(∠ABE) = (CE/AE) * (sin(C)/sin(A)).
Thay vào biểu thức Ceva (*):
(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * [(AF/BF) * (sin(A)/sin(B))] * [(CE/AE) * (sin(C)/sin(A))] = 1
(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * (AF/BF) * (CE/AE) * (sin C / sin B) = 1
Tính tỉ số đoạn thẳng AF/BF và CE/AE:
- Trong phần chứng minh câu b, ta đã sử dụng phép đối xứng. Phép đối xứng qua AB biến ∠ADF thành ∠AMF. Phép đối xứng qua AC biến ∠ADE thành ∠ANE.
- Ta có ∠AMN = ∠ANM = 90° - ∠BAC (góc đáy tam giác cân AMN có ∠MAN = 2∠BAC - xem lại phần nháp chứng minh).
- Xét △AFM: ∠MAF = ∠DAB; ∠AMF = 90°-A. Vậy ∠AFM = 180° - ∠DAB - (90°-A) = 90° - ∠DAB + A = 90° + ∠DAC.
- Góc ngoài tại F của △AFM là góc kề bù: ∠AFC (trong △ABC) = 180° - ∠AFM = 180° - (90°+∠DAC) = 90° - ∠DAC.
- Xét △ANE: ∠NAE = ∠DAC; ∠ANE = 90°-A. Vậy ∠AEN = 180° - ∠DAC - (90°-A) = 90° - ∠DAC + A = 90° + ∠DAB.
- Góc ngoài tại E của △ANE là góc kề bù: ∠AEB (trong △ABC) = 180° - ∠AEN = 180° - (90°+∠DAB) = 90° - ∠DAB.
- Áp dụng định lý sin trong △ABЕ: AE / sin(B) = AB / sin(∠AEB) = AB / sin(90°-∠DAB) = AB / cos(∠DAB). Suy ra AE = AB * sin(B) / cos(∠DAB).
- Áp dụng định lý sin trong △CBE: CE / sin(∠CBE) = BC / sin(∠CEB). ∠CEB = 180°-∠AEB = 90°+∠DAB. CE / sin(B) = BC / sin(90°+∠DAB) = BC / cos(∠DAB). Suy ra CE = BC * sin(B) / cos(∠DAB).
- Do đó: CE / AE = BC / AB.
- Áp dụng định lý sin trong △ACF: AF / sin(C) = AC / sin(∠AFC) = AC / sin(90°-∠DAC) = AC / cos(∠DAC). Suy ra AF = AC * sin(C) / cos(∠DAC).
- Áp dụng định lý sin trong △BCF: BF / sin(∠BCF) = BC / sin(∠BFC). ∠BFC = 180°-∠AFC = 90°+∠DAC. BF / sin(C) = BC / sin(90°+∠DAC) = BC / cos(∠DAC). Suy ra BF = BC * sin(C) / cos(∠DAC).
- Do đó: BF / AF = BC / AC.
Thay tỉ số đoạn thẳng vào biểu thức Ceva:
(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * (AC/BC) * (BC/AB) * (sin C / sin B) = 1
(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * (AC/AB) * (sin C / sin B) = 1
Áp dụng định lý sin trong △ABC: AC/sin B = AB/sin C => AC/AB = sin B / sin C.
(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * (sin B / sin C) * (sin C / sin B) = 1
sin ∠BAD / sin ∠DAC = 1
sin ∠BAD = sin ∠DAC
Vì ∠BAD và ∠DAC là các góc nhọn (do △ABC nhọn) nên:
∠BAD = ∠DAC
Điều này có nghĩa là AD vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của góc A. Suy ra △ABC phải cân tại A, tức là AB = AC.
Kết luận cho phần c): Phép chứng minh trên dẫn đến kết quả AB = AC. Tuy nhiên, giả thiết của bài toán là AB < AC. Điều này có nghĩa là điều kiện của định lý Ceva không được thỏa mãn với giả thiết AB < AC. Do đó, ba đường thẳng AD, BE, CF không đồng quy khi AB < AC.
Nếu đề bài cho tam giác ABC cân tại A (AB=AC) thì AD, BE, CF sẽ đồng quy. Có thể đề bài gốc có giả thiết là △ABC cân tại A hoặc có một yêu cầu khác trong phần c). Dựa trên giả thiết AB < AC, kết luận là chúng không đồng quy.

Câu trả lời:

Hình vẽ: (Bạn nên tự vẽ hình theo mô tả để dễ theo dõi)

Vẽ tam giác nhọn ABC với AB < AC.
Kẻ đường cao AD (D thuộc BC).
Lấy M đối xứng với D qua đường thẳng AB.
Lấy N đối xứng với D qua đường thẳng AC.
Đường thẳng MN cắt AB tại F và cắt AC tại E.

Phân tích ban đầu:

AB là đường trung trực của DM có nghĩa là mọi điểm trên AB cách đều D và M. Đặc biệt, AD = AM và FD = FM (vì F thuộc AB). Cũng có nghĩa là DM ⊥ AB.
AC là đường trung trực của DN có nghĩa là mọi điểm trên AC cách đều D và N. Đặc biệt, AD = AN và ED = EN (vì E thuộc AC). Cũng có nghĩa là DN ⊥ AC.

a) Chứng minh △AMN cân tại A (Lưu ý: Đề bài yêu cầu C/m △ABC cân tại A là không chính xác vì giả thiết cho AB < AC)

Vì AB là đường trung trực của DM và A thuộc AB nên AD = AM (1).
Vì AC là đường trung trực của DN và A thuộc AC nên AD = AN (2).
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN.
Do đó, △AMN là tam giác cân tại A.

(Ghi chú: Không thể chứng minh △ABC cân tại A vì điều đó mâu thuẫn với giả thiết AB < AC. Rất có thể đề bài có sự nhầm lẫn ở câu a và ý đúng là chứng minh △AMN cân tại A)

b) Chứng minh DA là tia phân giác của góc EDF

Để chứng minh DA là tia phân giác của góc EDF, ta cần chứng minh ∠ADE = ∠ADF.

Xét phép đối xứng qua trục AC:
- Biến D thành N.
- Biến A thành A (vì A thuộc AC).
- Biến E thành E (vì E thuộc AC).
- Do đó, phép đối xứng trục AC biến tam giác ADE thành tam giác ANE.
- Suy ra: △ADE = △ANE (c.c.c hoặc tính chất phép đối xứng)
- Vậy ∠ADE = ∠ANE (góc tương ứng). (3)
Xét phép đối xứng qua trục AB:
- Biến D thành M.
- Biến A thành A (vì A thuộc AB).
- Biến F thành F (vì F thuộc AB).
- Do đó, phép đối xứng trục AB biến tam giác ADF thành tam giác AMF.
- Suy ra: △ADF = △AMF (c.c.c hoặc tính chất phép đối xứng)
- Vậy ∠ADF = ∠AMF (góc tương ứng). (4)
Xét tam giác AMN cân tại A (chứng minh ở câu a), ta có:
- ∠ANM = ∠AMN (góc đáy).
- Vì E thuộc đường thẳng MN nên ∠ANE = ∠ANM.
- Vì F thuộc đường thẳng MN nên ∠AMF = ∠AMN.
- Do đó, ∠ANE = ∠AMF. (5)
Từ (3), (4), và (5) suy ra: ∠ADE = ∠ADF.
Vậy DA là tia phân giác của góc EDF.

c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy

Ta sẽ sử dụng định lý Ceva dạng sin trong tam giác ABC đối với các đường thẳng AD, BE, CF. Ba đường thẳng này đồng quy khi và chỉ khi:

(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * (sin ∠ACF / sin ∠BCF) * (sin ∠CBE / sin ∠ABE) = 1 (*)

Tính các tỉ số sin:
- Áp dụng định lý sin cho △ACF và △BCF:
- - Trong △ACF: AF / sin(∠ACF) = CF / sin(∠CAF) = CF / sin(A). Suy ra sin(∠ACF) = (AF/CF) * sin(A).
  - Trong △BCF: BF / sin(∠BCF) = CF / sin(∠CBF) = CF / sin(B). Suy ra sin(∠BCF) = (BF/CF) * sin(B).
  - Tỉ số: sin(∠ACF) / sin(∠BCF) = (AF/BF) * (sin(A)/sin(B)).
- Áp dụng định lý sin cho △ABE và △CBE:
- - Trong △ABE: AE / sin(∠ABE) = BE / sin(∠BAE) = BE / sin(A). Suy ra sin(∠ABE) = (AE/BE) * sin(A).
  - Trong △CBE: CE / sin(∠CBE) = BE / sin(∠BCE) = BE / sin(C). Suy ra sin(∠CBE) = (CE/BE) * sin(C).
  - Tỉ số: sin(∠CBE) / sin(∠ABE) = (CE/AE) * (sin(C)/sin(A)).
Thay vào biểu thức Ceva (*):
(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * [(AF/BF) * (sin(A)/sin(B))] * [(CE/AE) * (sin(C)/sin(A))] = 1
(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * (AF/BF) * (CE/AE) * (sin C / sin B) = 1
Tính tỉ số đoạn thẳng AF/BF và CE/AE:
- Trong phần chứng minh câu b, ta đã sử dụng phép đối xứng. Phép đối xứng qua AB biến ∠ADF thành ∠AMF. Phép đối xứng qua AC biến ∠ADE thành ∠ANE.
- Ta có ∠AMN = ∠ANM = 90° - ∠BAC (góc đáy tam giác cân AMN có ∠MAN = 2∠BAC - xem lại phần nháp chứng minh).
- Xét △AFM: ∠MAF = ∠DAB; ∠AMF = 90°-A. Vậy ∠AFM = 180° - ∠DAB - (90°-A) = 90° - ∠DAB + A = 90° + ∠DAC.
- Góc ngoài tại F của △AFM là góc kề bù: ∠AFC (trong △ABC) = 180° - ∠AFM = 180° - (90°+∠DAC) = 90° - ∠DAC.
- Xét △ANE: ∠NAE = ∠DAC; ∠ANE = 90°-A. Vậy ∠AEN = 180° - ∠DAC - (90°-A) = 90° - ∠DAC + A = 90° + ∠DAB.
- Góc ngoài tại E của △ANE là góc kề bù: ∠AEB (trong △ABC) = 180° - ∠AEN = 180° - (90°+∠DAB) = 90° - ∠DAB.
- Áp dụng định lý sin trong △ABЕ: AE / sin(B) = AB / sin(∠AEB) = AB / sin(90°-∠DAB) = AB / cos(∠DAB). Suy ra AE = AB * sin(B) / cos(∠DAB).
- Áp dụng định lý sin trong △CBE: CE / sin(∠CBE) = BC / sin(∠CEB). ∠CEB = 180°-∠AEB = 90°+∠DAB. CE / sin(B) = BC / sin(90°+∠DAB) = BC / cos(∠DAB). Suy ra CE = BC * sin(B) / cos(∠DAB).
- Do đó: CE / AE = BC / AB.
- Áp dụng định lý sin trong △ACF: AF / sin(C) = AC / sin(∠AFC) = AC / sin(90°-∠DAC) = AC / cos(∠DAC). Suy ra AF = AC * sin(C) / cos(∠DAC).
- Áp dụng định lý sin trong △BCF: BF / sin(∠BCF) = BC / sin(∠BFC). ∠BFC = 180°-∠AFC = 90°+∠DAC. BF / sin(C) = BC / sin(90°+∠DAC) = BC / cos(∠DAC). Suy ra BF = BC * sin(C) / cos(∠DAC).
- Do đó: BF / AF = BC / AC.
Thay tỉ số đoạn thẳng vào biểu thức Ceva:
(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * (AC/BC) * (BC/AB) * (sin C / sin B) = 1
(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * (AC/AB) * (sin C / sin B) = 1
Áp dụng định lý sin trong △ABC: AC/sin B = AB/sin C => AC/AB = sin B / sin C.
(sin ∠BAD / sin ∠DAC) * (sin B / sin C) * (sin C / sin B) = 1
sin ∠BAD / sin ∠DAC = 1
sin ∠BAD = sin ∠DAC
Vì ∠BAD và ∠DAC là các góc nhọn (do △ABC nhọn) nên:
∠BAD = ∠DAC
Điều này có nghĩa là AD vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của góc A. Suy ra △ABC phải cân tại A, tức là AB = AC.
Kết luận cho phần c): Phép chứng minh trên dẫn đến kết quả AB = AC. Tuy nhiên, giả thiết của bài toán là AB < AC. Điều này có nghĩa là điều kiện của định lý Ceva không được thỏa mãn với giả thiết AB < AC. Do đó, ba đường thẳng AD, BE, CF không đồng quy khi AB < AC.
Nếu đề bài cho tam giác ABC cân tại A (AB=AC) thì AD, BE, CF sẽ đồng quy. Có thể đề bài gốc có giả thiết là △ABC cân tại A hoặc có một yêu cầu khác trong phần c). Dựa trên giả thiết AB < AC, kết luận là chúng không đồng quy.

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

a: Sửa đề: Chứng minh ΔAMN cân tại A

Ta có: AB là đường trung trực của DM

=>AM=AD và BD=BM

ta có: AC là đường trung trực của DN

=>AD=AN và CD=CN

Ta có: AM=AD

AN=AD

Do đó: AM=AN

=>ΔAMN cân tại A

b: Xét ΔAMB và ΔADB có

AM=AD

BM=BD

AB chung

Do đó: ΔAMB=ΔADB

=>$\widehat{MAB}=\widehat{DAB};\widehat{MBD}=\widehat{DBA}$

Xét ΔADC và ΔANC có

AD=AN

DC=NC

AC chung

Do đó:ΔADC=ΔANC

=>$\widehat{DAC}=\widehat{NAC};\widehat{ACD}=\widehat{ACN}$

Xét ΔAMF và ΔADF có

AM=AD

$\widehat{MAF}=\widehat{DAF}$

AF chung

Do đó: ΔAMF=ΔADF

=>$\widehat{ADF}=\widehat{AMF}=\widehat{AMN}\left(1\right)$

Xét ΔADE và ΔANE có

AD=AN

$\widehat{DAE}=\widehat{NAE}$

AE chung

DO đó: ΔADE=ΔANE

=>$\widehat{ADE}=\widehat{ANE}=\widehat{ANM}\left(2\right)$

ΔAMN cân tại A

=>$\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\left(3\right)$

Từ (1),(2),(3) suy ra $\widehat{ADF}=\widehat{ADE}$

=>DA là phân giác của góc FDE

Câu trả lời:

a: Sửa đề: Chứng minh ΔAMN cân tại A

Ta có: AB là đường trung trực của DM

=>AM=AD và BD=BM

ta có: AC là đường trung trực của DN

=>AD=AN và CD=CN

Ta có: AM=AD

AN=AD

Do đó: AM=AN

=>ΔAMN cân tại A

b: Xét ΔAMB và ΔADB có

AM=AD

BM=BD

AB chung

Do đó: ΔAMB=ΔADB

=>$\widehat{MAB}=\widehat{DAB};\widehat{MBD}=\widehat{DBA}$

Xét ΔADC và ΔANC có

AD=AN

DC=NC

AC chung

Do đó:ΔADC=ΔANC

=>$\widehat{DAC}=\widehat{NAC};\widehat{ACD}=\widehat{ACN}$

Xét ΔAMF và ΔADF có

AM=AD

$\widehat{MAF}=\widehat{DAF}$

AF chung

Do đó: ΔAMF=ΔADF

=>$\widehat{ADF}=\widehat{AMF}=\widehat{AMN}\left(1\right)$

Xét ΔADE và ΔANE có

AD=AN

$\widehat{DAE}=\widehat{NAE}$

AE chung

DO đó: ΔADE=ΔANE

=>$\widehat{ADE}=\widehat{ANE}=\widehat{ANM}\left(2\right)$

ΔAMN cân tại A

=>$\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\left(3\right)$

Từ (1),(2),(3) suy ra $\widehat{ADF}=\widehat{ADE}$

=>DA là phân giác của góc FDE

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP