Question

[Lê Phi Long]

Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, F là điểm đối xứng vói D qua AC. Gọi K là giao điểm của EB và FC. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở I. Chứng minh rằng 3 điểm K,I,A thẳng hàng.

Answer 1

[Nguyễn Việt Hoàn]

Để chứng minh ba điểm K, I, A thẳng hàng, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh các góc bằng nhau.

Chứng minh:

1. Chứng minh các tứ giác nội tiếp:
2. • Tứ giác ABDE nội tiếp (vì E đối xứng với D qua AB).
   • Tứ giác ACDF nội tiếp (vì F đối xứng với D qua AC).
   • Tứ giác BIC nội tiếp (vì BI vuông góc với AB, CI vuông góc với AC).
3. Chứng minh các góc bằng nhau:
4. • Vì ABDE nội tiếp nên góc BAE = góc BDE.
   • Vì ACDF nội tiếp nên góc CAF = góc CDF.
   • Vì E đối xứng với D qua AB nên góc BDE = góc BDA.
   • Vì F đối xứng với D qua AC nên góc CDF = góc CDA.
   • Suy ra: góc BAE = góc BDA và góc CAF = góc CDA.
   • Ta có: góc BDA + góc CDA = góc BDC.
   • Suy ra: góc BAE + góc CAF = góc BDC.
   • Vì BIC nội tiếp nên góc BIC = 180° - góc BAC.
   • Ta lại có: góc BKC = 180° - (góc KBC + góc KCB).
   • Vì góc KBC = góc DBE và góc KCB = góc DCF nên góc BKC = 180° - (góc DBE + góc DCF).
   • Mà góc DBE = góc BDA và góc DCF = góc CDA nên góc BKC = 180° - (góc BDA + góc CDA) = 180° - góc BDC.
   • Suy ra: góc BKC = 180° - góc BDC = góc BIC.
   • Do đó, tứ giác BKIC nội tiếp.
5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
6. • Vì tứ giác BKIC nội tiếp nên góc KIB = góc KCB.
   • Mà góc KCB = góc DCF = góc DAC.
   • Suy ra: góc KIB = góc DAC.
   • Ta lại có: góc KIB + góc KIA = 180°.
   • Và góc DAC + góc IAC = 180°.
   • Suy ra: góc KIA = góc IAC.
   • Do đó, ba điểm K, I, A thẳng hàng.

Kết luận:

Ba điểm K, I, A thẳng hàng.