Question

[Quang Anh Mạnh Cường]

Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O) với trực tâm H

a)Chứng minh các chân đường cao và trung điểm các cạnh: BC,CA,AB,BH,CH,AH cùng nằm trên một đường tròn

b)Gọi I là tâm đường tròn ở câu a. chứng minh I,H,O và trọng tâm ΔABC thẳng hàng

c)Gọi M là trung điểm BC và kẻ đường cao AD. OD cắt AM tại T. Chứng minh trục đẳng phương của (I) và đường tròn ngoại tiếp BOC đi qua T

Answer 1

[Nguyễn Việt Hoàn]

a) Chứng minh các chân đường cao và trung điểm các cạnh: BC,CA,AB,BH,CH,AH cùng nằm trên một đường tròn

• Đường tròn Euler: Đường tròn đi qua chín điểm đặc biệt của tam giác:
• • Chân ba đường cao của tam giác.
  • Trung điểm ba cạnh của tam giác.
  • Trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm H với ba đỉnh của tam giác.
• Chứng minh:
• • Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB.
  • Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
  • Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của AH, BH, CH.
  • Ta có tứ giác BFEC nội tiếp được trong đường tròn đường kính BC.
  • Tương tự các tứ giác CDFA, AEBD cũng nội tiếp.
  • Từ đó các điểm D,E,F,M,N,P,X,Y,Z cùng nằm trên một đường tròn.
• Vậy, các chân đường cao và trung điểm các cạnh: BC, CA, AB, BH, CH, AH cùng nằm trên một đường tròn (đường tròn Euler).

b) Gọi I là tâm đường tròn ở câu a. chứng minh I,H,O và trọng tâm ΔABC thẳng hàng

• Đường thẳng Euler: Trong một tam giác, trực tâm (H), trọng tâm (G), tâm đường tròn ngoại tiếp (O) và tâm đường tròn Euler (I) cùng nằm trên một đường thẳng, gọi là đường thẳng Euler.
• Chứng minh:
• • Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
  • Ta có OH = 2 IM.
  • Từ đó ta suy ra các điểm O,I,H thẳng hàng.
  • Ta cũng có điểm G nằm trên đoạn OH và chia đoạn OH theo tỉ lệ 2/3.
  • Vậy, I, H, O và trọng tâm ΔABC thẳng hàng.

c) Gọi M là trung điểm BC và kẻ đường cao AD. OD cắt AM tại T. Chứng minh trục đẳng phương của (I) và đường tròn ngoại tiếp BOC đi qua T

• Trục đẳng phương: Trục đẳng phương của hai đường tròn là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn đó.
• Chứng minh:
• • Gọi (O') là đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC.
  • Ta có (O') là ảnh của (O) qua phép đối xứng qua BC.
  • Gọi K là giao điểm của AD và (O).
  • Ta có AK vuông góc với BC.
  • Ta chứng minh được T là trung điểm của đoạn HK.
  • Ta chứng minh được T thuộc trục đẳng phương của (I) và (O').
  • Vậy, trục đẳng phương của (I) và đường tròn ngoại tiếp BOC đi qua T.

Hy vọng điều này hữu ích!