Question

[Thuy]

Cho chóp S.ABCD đáy HCN với AB = a AD a căn 2 Ba cạnh SA AB AD đôi 1 vuông góc và SA =2a Gọi I trung điểm SD Tính cos(AI,SC) giúp với ạ mih tự làm mà khó quá

Answer 1

[Gia Bao]

 với AB = a, AD = a√2, ba cạnh SA, AB, AD đôi một vuông góc và SA = 2a. Gọi I là trung điểm SD. Tính cos(∠ISC).

Tóm tắt đề:

• Đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a√2
• SA ⊥ AB, SA ⊥ AD, AB ⊥ AD tại A (góc tại A là vuông)
• SA = 2a
• I là trung điểm SD
• Tính cos(∠ISC)

Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ

• Đặt A(0,0,0)
• B(a,0,0)
• D(0,a√2,0)
• C(a,a√2,0)
• SA ⊥ mặt phẳng đáy, nên S(0,0,2a)
• SD: S(0,0,2a), D(0,a√2,0) ⇒ I là trung điểm SD:
  \(I \left(\right. 0 , \frac{a \sqrt{2}}{2} , a \left.\right)\)

Bước 2: Tính vector IS và IC

• IS = S - I = (0 - 0, 0 - a√2/2, 2a - a) = (0, -a√2/2, a)
• IC = C - I = (a - 0, a√2 - a√2/2, 0 - a) = (a, a√2/2, -a)

Bước 3: Tính cos(∠ISC)

Ta cần tính góc giữa hai vector IS và IC.

\(cos ⁡ \theta = \frac{\overset{⃗}{I S} \cdot \overset{⃗}{I C}}{\mid \overset{⃗}{I S} \mid \cdot \mid \overset{⃗}{I C} \mid}\)

• $\vec{IS} \cdot \vec{IC} = 0 \cdot a + (-a\sqrt{2}/2) \cdot (a\sqrt{2}/2) + a \cdot (-a)$
  $= 0 + \left(-a\sqrt{2}/2 \cdot a\sqrt{2}/2\right) + (-a^2)$
  $= 0 + \left(-a^2 \cdot 2 / 4\right) - a^2$
  $= -a^2/2 - a^2 = -3a^2/2$
• $|\vec{IS}| = \sqrt{0^2 + (a\sqrt{2}/2)^2 + a^2} = \sqrt{a^2 \cdot 2 / 4 + a^2} = \sqrt{a^2/2 + a^2} = \sqrt{3a^2/2} = a\sqrt{3/2}$
• $|\vec{IC}| = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2}/2)^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/2 + a^2} = \sqrt{2.5a^2} = a\sqrt{5/2}$
• $|\vec{IS}| \cdot |\vec{IC}| = a\sqrt{3/2} \cdot a\sqrt{5/2} = a^2 \sqrt{15}/2$

Vậy:

\(cos ⁡ \theta = \frac{- 3 a^{2} / 2}{a^{2} \sqrt{15} / 2} = - \frac{3}{\sqrt{15}} = - \frac{\sqrt{15}}{5}\)

---

Đáp số:

\(\boxed{cos ⁡ \left(\right. \angle I S C \left.\right) = - \frac{\sqrt{15}}{5}}\)