Question

[Đào Thị Nguyên Minh]

tìm nghiệm nguyên của phương trình 2(x+y+9)=3xy

Answer 1

[Nguyễn Thanh Phong]

Ta cần tìm nghiệm nguyên của phương trình:

\(2 \left(\right. x + y + 9 \left.\right) = 3 x y\)

Bước 1: Biến đổi phương trình

Mở rộng vế trái:

\(2 x + 2 y + 18 = 3 x y\)

Chuyển tất cả về một vế:

\(3 x y - 2 x - 2 y = 18\)

Biến đổi lại để dễ xử lý hơn:

\(3 x y - 2 x - 2 y - 18 = 0\)

Thêm và bớt 4 để đưa về dạng tích:

\(3 x y - 2 x - 2 y + 4 = 18 + 4\) \(3 x y - 2 x - 2 y + 4 = 22\)

Nhóm các số lại:

\(\left(\right. 3 x - 2 \left.\right) \left(\right. 3 y - 2 \left.\right) = 22 \left(\right. * \left.\right)\)

Bước 2: Tìm nghiệm nguyên

Ta cần tìm các cặp số \(\left(\right. 3 x - 2 , 3 y - 2 \left.\right)\) sao cho tích của chúng bằng 22.

Các cách phân tích số 22 thành tích hai số nguyên:

\(\left(\right. 1 , 22 \left.\right) , \left(\right. 22 , 1 \left.\right) , \left(\right. - 1 , - 22 \left.\right) , \left(\right. - 22 , - 1 \left.\right) , \left(\right. 2 , 11 \left.\right) , \left(\right. 11 , 2 \left.\right) , \left(\right. - 2 , - 11 \left.\right) , \left(\right. - 11 , - 2 \left.\right)\)

Tìm \(x , y\) thỏa mãn \(\left(\right. 3 x - 2 , 3 y - 2 \left.\right)\)

Trường hợp 1: \(3 x - 2 = 1\), \(3 y - 2 = 22\)

\(3 x = 3 \Rightarrow x = 1 , 3 y = 24 \Rightarrow y = 8\)

→ Nghiệm (1,8)

Trường hợp 2: \(3 x - 2 = 22\), \(3 y - 2 = 1\)

\(3 x = 24 \Rightarrow x = 8 , 3 y = 3 \Rightarrow y = 1\)

→ Nghiệm (8,1)

Trường hợp 3: \(3 x - 2 = - 1\), \(3 y - 2 = - 22\)

\(3 x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} , 3 y = - 20 \Rightarrow y = \frac{- 20}{3}\)

Không nhận nghiệm nguyên

Trường hợp 4: \(3 x - 2 = - 22\), \(3 y - 2 = - 1\)

\(3 x = - 20 \Rightarrow x = \frac{- 20}{3} , 3 y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{3}\)

Không nhận nghiệm nguyên

Trường hợp 5: \(3 x - 2 = 2\), \(3 y - 2 = 11\)

\(3 x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3} , 3 y = 13 \Rightarrow y = \frac{13}{3}\)

Không nhận nghiệm nguyên

Trường hợp 6: \(3 x - 2 = 11\), \(3 y - 2 = 2\)

\(3 x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3} , 3 y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{3}\)

Không nhận nghiệm nguyên

Trường hợp 7: \(3 x - 2 = - 2\), \(3 y - 2 = - 11\)

\(3 x = 0 \Rightarrow x = 0 , 3 y = - 9 \Rightarrow y = - 3\)

→ Nghiệm (0,-3)

Trường hợp 8: \(3 x - 2 = - 11\), \(3 y - 2 = - 2\)

\(3 x = - 9 \Rightarrow x = - 3 , 3 y = 0 \Rightarrow y = 0\)

→ Nghiệm (-3,0)

Bước 3: Kết luận

Các nghiệm nguyên của phương trình là:

\(\left(\right. 1 , 8 \left.\right) , \left(\right. 8 , 1 \left.\right) , \left(\right. 0 , - 3 \left.\right) , \left(\right. - 3 , 0 \left.\right)\)