Câu hỏi của Trần Thị Thanh Vân

Question

tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn -x^2+x+1=|y-5|

Trần Thị Thanh Vân · Accepted Answer

giúp mik với! Tối nay mik phải nộp rồi!

Câu trả lời:

giúp mik với! Tối nay mik phải nộp rồi!

Trần Thị Ngọc Hà · Answer

Ta cần tìm các cặp số nguyên $\left(\right. x , y \left.\right)$ thỏa mãn phương trình:

$- x^{2} + x + 1 = \mid y - 5 \mid$

Xét hàm số:

$f \left(\right. x \left.\right) = - x^{2} + x + 1$

Đây là một hàm bậc hai có hệ số $a = - 1$ nên là một parabol hướng xuống. Tìm đỉnh bằng công thức:

$x = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 1}{2 \left(\right. - 1 \left.\right)} = \frac{1}{2}$

Thay vào $f \left(\right. x \left.\right)$:

$f \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) = - \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} + \frac{1}{2} + 1 = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{4}$

Do $x$ phải là số nguyên, ta xét các giá trị nguyên lân cận:

$x = 0 \Rightarrow f \left(\right. 0 \left.\right) = - 0^{2} + 0 + 1 = 1$
$x = 1 \Rightarrow f \left(\right. 1 \left.\right) = - 1^{2} + 1 + 1 = 1$
$x = - 1 \Rightarrow f \left(\right. - 1 \left.\right) = - \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. - 1 \left.\right) + 1 = - 1$
$x = 2 \Rightarrow f \left(\right. 2 \left.\right) = - 2^{2} + 2 + 1 = - 1$

Vậy $f \left(\right. x \left.\right)$ chỉ nhận các giá trị $- 1$ hoặc $1$.

Ta có phương trình:

$\mid y - 5 \mid = f \left(\right. x \left.\right)$

Với $f \left(\right. x \left.\right)$ nhận giá trị $- 1$ hoặc $1$, ta chỉ xét các trường hợp có nghĩa:

$\mid y - 5 \mid = 1$ $y - 5 = 1 \Rightarrow y = 6$ $y - 5 = - 1 \Rightarrow y = 4$

Do đó, các giá trị $y$ có thể là $4$ hoặc $6$.Từ bảng giá trị của $f \left(\right. x \left.\right)$:

$f \left(\right. 0 \left.\right) = 1$ nên $y = 6$ hoặc $y = 4$ → cặp $\left(\right. 0 , 6 \left.\right)$, $\left(\right. 0 , 4 \left.\right)$.
$f \left(\right. 1 \left.\right) = 1$ nên $y = 6$ hoặc $y = 4$ → cặp $\left(\right. 1 , 6 \left.\right)$, $\left(\right. 1 , 4 \left.\right)$.
$f \left(\right. - 1 \left.\right) = - 1$ không phù hợp vì $\mid y - 5 \mid$ không thể âm.
$f \left(\right. 2 \left.\right) = - 1$ không phù hợp.

Các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình là:

$\left(\right. 0 , 4 \left.\right) , \left(\right. 0 , 6 \left.\right) , \left(\right. 1 , 4 \left.\right) , \left(\right. 1 , 6 \left.\right)$