Question

[Nguyễn Ngọc Thiện]

Một bảng đấu vòng loại gồm 5 đội : A,B,C,D,E thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (mỗi đội thi đấu đúng một trận với các đội còn lại). Trong mỗi trận đấu đội thắng được 3 điểm; đội hòa được 1 điểm và đội thua 0 điểm. Khi kết thúc bảng đấu người ta tính được tổng số điểm của 5 đội là 29 điểm. Hỏi đội vô địch đạt được bao nhiêu điểm. ai giải chi tiết giúp tui vs

Answer 1

[Nguyễn Việt Hoàn]

Phân tích bài toán:

• Có 5 đội thi đấu vòng tròn một lượt, tức là mỗi đội sẽ đấu với 4 đội còn lại.
• Tổng số trận đấu là: (5 x 4) / 2 = 10 trận.
• Tổng số điểm của 5 đội là 29 điểm.

Cách giải:

1. Tính tổng số điểm tối đa:
2. • Nếu tất cả các trận đều có kết quả thắng thua, tổng số điểm sẽ là 10 trận x 3 điểm/trận = 30 điểm.
3. Tính số trận hòa:
4. • Tổng số điểm thực tế là 29 điểm, ít hơn 30 điểm là 1 điểm.
   • Điều này có nghĩa là có 1 trận hòa (vì mỗi trận hòa giảm 2 điểm so với 1 trận thắng-thua).
5. Xác định số điểm tối thiểu của đội vô địch:
6. • Để đội vô địch có điểm số cao nhất, ta giả sử các đội còn lại có điểm số thấp nhất có thể.
   • Do có 1 trận hòa, nên có 9 trận thắng thua.
   • Giả sử đội cuối bảng thua 4 trận, đội áp chót thua 3 trận thắng 1 trận, đội kế tiếp thua 2 trận thắng 2 trận, đội thứ 4 thua 1 trận thắng 3 trận.
   • Tổng điểm của 4 đội cuối là : 0 + 3 + 6 + 9 = 18 điểm.
   • Vậy đội vô địch sẽ có : 29 - 18 = 11 điểm
7. Xác định khả năng đội vô địch đạt điểm tối đa:
8. • Vì có 1 trận hoà nên đội vô địch không thể thắng hết 4 trận.
   • Để số điểm đội vô địch đạt được là cao nhất, ta giả sử đội vô địch thắng 3 trận và hoà 1 trận, tổng điểm sẽ là: 3 x 3 + 1 = 10 điểm.
   • Trường hợp đội vô địch thắng 2 trận và hoà 2 trận thì sẽ là 2 x 3 + 2 = 8 điểm.
   • Trường hợp đội vô địch thắng 2 trận hoà 1 trận và thua 1 trận thì 2 x 3 + 1 + 0 = 7 điểm.
   • Trường hợp đội vô địch thắng 1 trận hoà 3 trận thì 1 x 3 + 3 = 6 điểm.
   • Trường hợp đội vô địch thắng 1 trận hoà 2 trận và thua 1 trận thì 1 x 3 + 2 + 0 = 5 điểm.
   • Trường hợp đội vô địch hoà 4 trận thì 4 x 1 = 4 điểm.
   • Vậy đội vô địch có khả năng cao đạt được 10 điểm.

Kết luận:

• Đội vô địch có khả năng cao đạt được 10 điểm.

Hy vọng điều này sẽ giúp bạn!

Answer 2

[Phạm Thành Đông]

Ta thấy rằng nếu 2 đội A và B đấu nhau mà hòa thì tổng điểm của 2 đội đó là \(2\) và nếu không hòa (giả sử A thắng B, tương tự với A thua B) thì tổng điểm của A và B là \(3\) (A được 3 điểm còn B được 0 điểm) \(\left(1\right)\) .

Do có 5 đội đấu nhau nên có tất cả 10 trận đấu nên gọi \(x\) là số trận không hòa giữa \(10\) trận đó (Ví dụ \(\)trận mà đội A thắng đội B tính là 1 trận không hòa). và \(y\) là số trận hòa

\(\Rightarrow x+y=10\) và \(3x+2y=29\) (do ta có \(\left(1\right)\) ).

\(\Rightarrow x=9\) và \(y=1\) .

Vậy có tất cả \(9\) trận không hòa và \(1\) trận hòa của 2 đội nào đó trong tổng 10 trận đấu trên.

Gọi \(a,b,c,d,e\) lần lượt là tổng điểm của đội \(A,B,C,D,E\)

\(\Rightarrow a+b+c+d+e=29\) .

Giả sử \(A\) là đội vô địch nên \(A\) có tổng số điểm nhiều nhất \(\Rightarrow a\ge b,c,d,e\) .

\(\Rightarrow29\le5a\Rightarrow a\ge6\) (do \(a\in N^{\star}\) )

Do \(A\) đấu với 4 đội khác và \(a\ge6\) nên ta sẽ có :

1) Đội \(A\) có 1 trận hòa, 2 trận thắng, 1 trận thua \(\Rightarrow a=2.3+1+0=7\)

2) Đội \(A\) có 1 trận hòa, 3 trận thắng \(\Rightarrow a=1+3.3=10\)

3) Đội \(A\) thắng cả 4 đội \(\Rightarrow a=3.4=12\) .

4)Đội \(A\) có\(\) 2 trận thắng và 2 trận thua \(\Rightarrow a=3.2+0.2=6\) .

5) Đội \(A\) có 3 trận thắng, 1 trận thua\(\Rightarrow a=3.3+0=9\) .

Cuối cùng là kiểm tra lại xem các trường hợp trên có thỏa mãn không bằng cách chỉ ra trường hợp cụ thể. Kết quả cả 5 trường hợp trên thoả mãn.

Vậy đội vô địch có thể đạt \(6,7,9,10,12\) điểm.