Question

[Oanh Dinh]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn,đường cao ah.I là một điểm nằm giữa A và H. Các tia BI và CI cắt AC và AB tương ứng tại M và N. Chứng Minh HI là tia phân giác của Góc MHN.

Answer 1

[HÀ HUY VƯỢNG]

Chúng ta cần chứng minh \(H I\) là tia phân giác của \(\angle M H N\), tức là chứng minh \(\frac{I M}{I N} = \frac{H M}{H N}\).

Chứng minh:

1. Xét tam giác \(\triangle A B C\) và các đường phụ trợ:
2. • \(A H\) là đường cao nên \(H\) là trực tâm tam giác \(A B C\).
   • \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(H\).
   • Các tia \(B I\) và \(C I\) cắt \(A C\) và \(A B\) tại \(M\) và \(N\).
3. Sử dụng định lý Ceva cho tam giác \(\triangle A B C\):
   Xét điểm \(I\) trên đường cao \(A H\), ta có:
   \(\frac{I M}{I N} = \frac{A M}{A N} \cdot \frac{sin ⁡ \angle B A M}{sin ⁡ \angle C A N}\)
   Do \(H\) là trực tâm nên các góc \(\angle H B C = \angle H A C\) và \(\angle H C B = \angle H B A\).
4. Sử dụng tính chất của trực tâm:
5. • Trong tam giác \(\triangle A B H\), đường cao \(A H\) tạo các góc đối đỉnh với góc trong tam giác \(A B C\), từ đó ta có: \(\angle H A N = \angle H B C , \angle H A M = \angle H C B\)
   • Suy ra \(\frac{A M}{A N} = \frac{H M}{H N}\), từ đó dẫn đến: \(\frac{I M}{I N} = \frac{H M}{H N}\)
6. Kết luận:
   Vì \(\frac{I M}{I N} = \frac{H M}{H N}\), theo tính chất đường phân giác, \(H I\) chính là tia phân giác của \(\angle M H N\).

Vậy ta đã chứng minh được \(H I\) là tia phân giác của \(\angle M H N\). \(\square\)