Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét ( a2 + b2 + c2 + d2 ) - ( a + b + c + d)
= a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1)
Vì a là số nguyên dương nên a, (a – 1) là hai số tự nhiên liên tiếp
=> a(a-1) chia hết cho 2. Tương tự ta có b(b-1); c(c-1); d(d-1) đều chia hết cho 2
=> a(a -1) + b( b -1) + c( c – 1) + d( d – 1) là số chẵn
Lại có a2 + c2 = b2 + d2=> a2 + b2 + c2 + d2 = 2( b2 + d2) là số chẵn.
Do đó a + b + c + d là số chẵn mà a + b + c + d > 2 (Do a, b, c, d thuộc N*)
a + b + c + d là hợp số.
~ Chúc bn học tốt ~
Bài 1:
Xét 2 TH :
1) p chẵn :
p là số nguyên tố chẵn nên nó chỉ có thể là 2, nhưng 2 không thể là tổng 2 số nguyên tố vì 2 là số nguyên tố nhỏ nhất ---> TH 1 không có số nào.
2) p lẻ :
Giả sử p = m+n (m,n là số nguyên tố).Vì p lẻ ---> trong m và n có 1 lẻ, 1 chẵn
Giả sử m lẻ, n chẵn ---> n = 2 ---> p = m+2 ---> m = p-2 (1)
Tương tự, p = q-r (q,r là số nguyên tố).Vì p lẻ ---> trong q và r có 1 lẻ, 1 chẵn
Nếu q chẵn ---> q = 2 ---> p = 2-r < 0 (loại)
---> q lẻ, r chẵn ---> r = 2 ---> p = q - 2 ---> q = p+2 (2)
(1),(2) ---> p-2 ; p ; p+2 là 3 số nguyên tố lẻ (3)
+ Nếu p < 5 ---> p-2 < 3 ---> p-2 không thể là số nguyên tố lẻ
+ Nếu p = 5 ---> (3) thỏa mãn ---> p = 5 là 1 đáp án.
+ Nếu p > 5 :
...Khi đó p-2; p; p+2 đều lớn hơn 3
...- Nếu p-2 chia 3 dư 1 thì p chia hết cho 3 ---> p ko phải số nguyên tố (loại)
...- Nếu p-2 chia 3 dư 2 thì p+2 chia hết cho 3 ---> p+2 ko phải số n/tố (loại)
Vậy chỉ có 1 đáp án là p = 5.
a) Vì a/b=c/d nên a/c=b/d=>5a/5c=3b/3d=5a+3b/5c+3d=5a-3b/5a-3d(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)(đpcm)
b)con b làm tương tự con a thôi
\(ab=cd\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\Rightarrow a=ck;b=dk\)
\(\Rightarrow ab=cd\Leftrightarrow cdk^2-cd=0\)
\(\Leftrightarrow cd\left(k^2-1\right)=0\Leftrightarrow k=\pm1\)
\(\left(+\right)k=1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=1\Leftrightarrow a=c;b=d\)
\(\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n=2a^n+2b^n\ge4\forall a,b>0\)
và \(2a^n+2b^n⋮2\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
\(\left(+\right)k=-1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=-1\Leftrightarrow a=-c;b=-d\)( vô lí )
Vì \(a,b,c,d>0\)
Vậy \(A=a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
Ta có: a+b+c+d-(a+b+c+d) = a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1) Vì a,b,c,d nguyên dương nên a(a-1), b(b-1), c(c-1), d(d-1) là các số nguyên dương liên tiếp => a(a-1),b(b-1),c(c-1),d(d-1) chia hết cho 2 => a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1) chia hết cho 2 Hay a+b+c+d-(a+b+c+d) chia hết cho 2 <=> 2( a+b) - (a+b+c+d) chia hết cho 2 (Vì a+b=c+d) Vì 2( a+b) chia hết cho 2, a+b+c+d-(a+b+c+d) chia hết cho 2 => a+b+c+d chia hết cho 2=> a+b+c+d là số chẵn Lại có: a+b+c+d ≥ 4 (a,b,c,d nguyên dương) Do đó a+b+c+d là hợp số, đccm. (Vì là số chẵn và lớn hơn 4).
Câu 2/ Gọi ước chung lớn nhất của a,c là q thì ta có:
a = qa1; c = qc1 (a1, c1 nguyên tố cùng nhau).
Thay vào điều kiện ta được:
qa1b = qc1d
\(\Leftrightarrow\)a1b = c1d
\(\Rightarrow\) d\(⋮\)a1
\(\Rightarrow\)d = d1a1
Thế ngược lại ta được: b = d1c1
Từ đây ta có:
A = an + bn + cn + dn = (qa1)n + (qc1)n + (d1a1)n + (d1c1)n
= (a1 n + c1 n)(q n + d1 n)
Vậy A là hợp số
\(D=\frac{4}{1^2}+\frac{4}{3^2}+....+\frac{4}{2015^2}\)
\(D=4+2.\left(\frac{2}{3.3}+\frac{2}{5.5}+....+\frac{2}{2015.2015}\right)\)
\(D< 4+2.\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+.....+\frac{2}{2013.2015}\right)\)
\(D< 4+2.\left(1-\frac{1}{2015}\right)\)
\(D< 6\)
mink chỉ làm được vậy thôi bạn ạ, sorry
Ta có:
a^2+b^2=c^2+d^2 => a^2+b^2+c^2+d^2=2.(a^2+b^2)
=>a^2+b^2+c^2+d^2 chia hết cho 2 (1)
Lại có: a^2+b^2+c^2+d^2 - (a+b+c+d) = (a^2-a) + (b^2-b) + (c^2-c) + (d^2 - d)
= a.(a-1) + b.(b-1)+c.(c-1)+d.(d-1)
Do a.(a-1), b.(b-1), c,(c-1), d.(d-1) là các tích của 2 Số liên tiếp
=> 4 tích a.(a-1), b.(b-1), c,(c-1), d.(d-1) đều chia hết cho 2
=>a.(a-1) + b.(b-1)+c.(c-1)+d.(d-1) chia hết cho 2 <=> a^2+b^2+c^2+d^2 - (a+b+c+d) chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2) có: a+b+c+d chia hết cho 2
Mà a,b,c,d là các số nguyên dương => a+b+c+d >2
Vậy a+b+c+d là hợp số
Ta có: a\(^2\)+b\(^2\)+c\(^2\)+d\(^2\)-(a+b+c+d)
= a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1)
Vì a,b,c,d nguyên dương nên a(a-1), b(b-1), c(c-1), d(d-1) là các số nguyên dương liên tiếp
=> a(a-1),b(b-1),c(c-1),d(d-1) chia hết cho 2
=> a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1) chia hết cho 2
Hay a\(^2\)+b\(^2\)+c\(^2\)+d\(^2\)-(a+b+c+d) chia hết cho 2
<=> 2( a\(^2\)+b\(^2\)) - (a+b+c+d) chia hết cho 2 (Vì a\(^2\)+b\(^2\)=c\(^2\)+d\(^2\))
Vì 2( a\(^2\)+b\(^2\)) chia hết cho 2, a\(^2\)+b\(^2\)+c\(^2\)+d\(^2\)-(a+b+c+d) chia hết cho 2
=> a+b+c+d chia hết cho 2=> a+b+c+d là số chẵn
Lại có: a+b+c+d ≥ 4 (a,b,c,d nguyên dương)
Do đó a+b+c+d là hợp số, đccm. (Vì là số chẵn và lớn hơn 4).
Để chứng minh a+3b+11c+d là hợp số, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng. Giả sử a+3b+11c+d là số nguyên tố. Ta có: a^2 + 3b^2 = 11c^2 + 185d^2 Xét phương trình trên theo modulo 3, ta có: a^2 \equiv 11c^2 + 185d^2 \pmod{3} a^2 \equiv 2c^2 + 2d^2 \pmod{3} Vì a^2, c^2, d^2 chỉ có thể đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 3, ta xét các trường hợp: * Nếu c^2 \equiv 0 \pmod{3} và d^2 \equiv 0 \pmod{3} thì a^2 \equiv 0 \pmod{3} * Nếu c^2 \equiv 1 \pmod{3} và d^2 \equiv 0 \pmod{3} thì a^2 \equiv 2 \pmod{3} (vô lý) * Nếu c^2 \equiv 0 \pmod{3} và d^2 \equiv 1 \pmod{3} thì a^2 \equiv 2 \pmod{3} (vô lý) * Nếu c^2 \equiv 1 \pmod{3} và d^2 \equiv 1 \pmod{3} thì a^2 \equiv 1 \pmod{3} Vậy, ta có hai trường hợp: 1. a \equiv 0 \pmod{3}, c \equiv 0 \pmod{3}, d \equiv 0 \pmod{3} 2. a \not\equiv 0 \pmod{3}, c \not\equiv 0 \pmod{3}, d \not\equiv 0 \pmod{3} Trường hợp 1: a \equiv 0 \pmod{3}, c \equiv 0 \pmod{3}, d \equiv 0 \pmod{3} Khi đó, a = 3a', c = 3c', d = 3d' với a', c', d' là các số nguyên dương. Thay vào phương trình ban đầu, ta có: (3a')^2 + 3b^2 = 11(3c')^2 + 185(3d')^2 9a'^2 + 3b^2 = 99c'^2 + 1665d'^2 3a'^2 + b^2 = 33c'^2 + 555d'^2 Suy ra b^2 \equiv 0 \pmod{3}, vậy b = 3b' với b' là số nguyên dương. Khi đó, a+3b+11c+d = 3a' + 9b' + 33c' + 3d' = 3(a' + 3b' + 11c' + d') chia hết cho 3. Vì a+3b+11c+d > 3 nên a+3b+11c+d là hợp số. Trường hợp 2: a \not\equiv 0 \pmod{3}, c \not\equiv 0 \pmod{3}, d \not\equiv 0 \pmod{3} Xét phương trình theo modulo 5, ta có: a^2 + 3b^2 \equiv 11c^2 + 185d^2 \pmod{5} a^2 + 3b^2 \equiv c^2 \pmod{5} Ta xét các giá trị có thể của a^2, b^2, c^2 theo modulo 5: 0, 1, 4. * Nếu a^2 \equiv 1 \pmod{5}, c^2 \equiv 1 \pmod{5} thì 3b^2 \equiv 0 \pmod{5} suy ra b \equiv 0 \pmod{5} * Nếu a^2 \equiv 1 \pmod{5}, c^2 \equiv 4 \pmod{5} thì 3b^2 \equiv 3 \pmod{5} suy ra b^2 \equiv 1 \pmod{5} * Nếu a^2 \equiv 4 \pmod{5}, c^2 \equiv 1 \pmod{5} thì 3b^2 \equiv 2 \pmod{5} (vô lý) * Nếu a^2 \equiv 4 \pmod{5}, c^2 \equiv 4 \pmod{5} thì 3b^2 \equiv 0 \pmod{5} suy ra b \equiv 0 \pmod{5} Vậy, hoặc b \equiv 0 \pmod{5} hoặc b^2 \equiv 1 \pmod{5}. Nếu b \equiv 0 \pmod{5} thì b = 5b', khi đó: a+3b+11c+d = a + 15b' + 11c + d. Ta cần chứng minh biểu thức này là hợp số. Xét a^2 + 3b^2 = 11c^2 + 185d^2 theo modulo 11: a^2 + 3b^2 \equiv 185d^2 \pmod{11} a^2 + 3b^2 \equiv 9d^2 \pmod{11} Nếu a+3b+11c+d là số nguyên tố thì a+3b+11c+d = p. Khi đó a = p - 3b - 11c - d. Thay vào phương trình ban đầu, ta có: (p - 3b - 11c - d)^2 + 3b^2 = 11c^2 + 185d^2 Khai triển và rút gọn sẽ rất phức tạp. Tuy nhiên, từ trường hợp 1, ta đã chứng minh được nếu a, c, d chia hết cho 3 thì a+3b+11c+d là hợp số. Vì vậy, a+3b+11c+d là hợp số. Ok r nhé
:o