Question

[Nguyễn Thị Thảo Vi]

Chứng minh rằng nếu một đa thức một biến có hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hệ số tự do.

Answer 1

[Nguyễn Công Trường]

Chứng minh

Giả sử P(x)P(x)P(x) là một đa thức một biến với hệ số nguyên:

P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0P(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​

với an,an−1,…,a1,a0a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0an​,an−1​,…,a1​,a0​ là các số nguyên.

Giả sử rrr là một nghiệm nguyên của P(x)P(x)P(x), tức là:

P(r)=anrn+an−1rn−1+⋯+a1r+a0=0.P(r) = a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0.P(r)=an​rn+an−1​rn−1+⋯+a1​r+a0​=0.

Ta có thể viết lại phương trình trên dưới dạng:

anrn+an−1rn−1+⋯+a1r=−a0.a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r = -a_0.an​rn+an−1​rn−1+⋯+a1​r=−a0​.

Điều này có nghĩa là a0a_0a0​ (hệ số tự do) là bội của rrr, hay nói cách khác, rrr là một ước của a0a_0a0​.

Kết luận

Bất kỳ nghiệm nguyên nào của đa thức hệ số nguyên cũng phải là một ước của hệ số tự do a0a_0a0​. Điều này chính là nội dung của định lý về nghiệm nguyên trong lý thuyết đa thức.