Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(m^2\left(x-1\right)+x-3< 0\Leftrightarrow\left(m^2+1\right)x-m^2-3< 0\)
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+1\right)x-m^2-3\)
\(f\left(x\right)< 0\forall x\in\left[-5;2\right]\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}f\left(-5\right)< 0\\f\left(2\right)< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-6m^2-8< 0\\m^2-1< 0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6m^2+8>0\\m^2< 1\end{cases}}\Leftrightarrow\left|m\right|< 1\Leftrightarrow-1< m< 1\)
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là giá trị m = 0
\(f\left(x\right)=x^2+2\left(m+1\right)x+m+3\)
Để \(f\left(x\right)\ge0\)với mọi \(x\inℝ\)thì:
\(\hept{\begin{cases}a=1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m+3\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow m^2+m-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(m-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m\ge1\\m\le-2\end{cases}}\).
Đặt \(t=3^x,t>0\)
Bất phương trình trở thành :
\(m.t^2+9\left(m-1\right)t+m-1>0\)
\(\Leftrightarrow m\left(t^2+9t+1\right)>9t+1\)
\(\Leftrightarrow m>\frac{9t+1}{t^2+9t+1}\)
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi :
\(m>max_{t>0}\frac{9t+1}{t^2+9t+1}\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{9t+1}{t^2+9t+1};t>0\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{-9t-2}{\left(t^2+9t+1\right)^2}< 0,t>0\)
đây là hàm nghịch biến suy ra \(f\left(t\right)< f\left(0\right)=1\)
Do đó : \(\frac{9t+1}{t^2+9t+1}< 0,t>0\) nên các giá trị cần tìm là \(m\ge1\)
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=t\Rightarrow t^2=4+2\sqrt{\left(5-x\right)\left(x-1\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(5-x\right)\left(x-1\right)}=\frac{t^2-4}{2}\)
\(\Rightarrow t+\frac{1}{2}t^2-2\ge m\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\ge0\\t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\le\sqrt{\left(x-1+5-x\right)\left(1+1\right)}=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Bất phương trình trở thành:
Tìm giá trị lớn nhất của m để \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\ge m\) có nghiệm đúng với \(\forall t\in\left[0;2\sqrt{2}\right]\)
\(\Leftrightarrow m\le max_{\left[0;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\) trên \(\left[0;2\sqrt{2}\right]\)
Do \(-\frac{b}{2a}=-1\notin\left[0;2\sqrt{2}\right]\) nên cực trị rơi vào 2 đầu mút
\(f\left(0\right)=-2;f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow max_{\left[0;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow m\le2+2\sqrt{2}\Rightarrow m_{max}=2+2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow m\left(x^2-2x\right)+x^2-4x+4>0\)
\(\Leftrightarrow mx\left(x-2\right)+\left(x-2\right)^2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(mx+x-2\right)>0\)
\(\Leftrightarrow mx+x-2< 0\) (do \(x-2< 0\) \(\forall x\in\left[0;1\right]\))
\(\Leftrightarrow mx< 2-x\)
- Với \(x=0\) luôn thỏa mãn
- Với \(x>0\Rightarrow m< \frac{2-x}{x}=\frac{2}{x}-1\Rightarrow m< \min\limits_{\left[0;1\right]}\left(\frac{2}{x}-1\right)=1\)
Vậy \(m< 1\)
Để bất phương trình cho có nghiệm đúng \(\forall x\in R\) khi và chỉ khi
\(\lrArr\begin{cases}m-1>0\\ \left(m-3\right)^2-16\left(m-1\right)<0\end{cases}\)
\(\lrArr\begin{cases}m>1\\ m^2-22m+25<0\end{cases}\)
\(\lrArr\begin{cases}m>1\\ 11-4\sqrt6
\(\lrArr m>11-4\sqrt6\)
mà m nguyên và \(11-4\sqrt6\) gần bằng \(1,2\)
Nên m có vô số nghiệm nguyên sao cho \(m\ge2\)
TH1: m=1
Bất phương trình sẽ trở thành:
\(\left(1-1\right)x^2+\left(1-3\right)x+4>0\)
=>-2x+4>0
=>-2x>-4
=>x<2
=>Bất phương trình không đúng với mọi x thực
=>Loại
TH2: \(m\ne1\)
\(\text{Δ}=\left(m-3\right)^2-4\left(m-1\right)\cdot4\)
\(=m^2-6m+9-16m+16=m^2-22m+25\)
Để bất phương trình đúng với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< 0\\m-1>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-22m+25< 0\\m-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-11\right)^2-96< 0\\m>1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-11\right)^2< 96\\m>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4\sqrt{6}< m-11< 4\sqrt{6}\\m>1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-4\sqrt{6}+11< m< 4\sqrt{6}+11\\m>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-4\sqrt{6}+11< m< 4\sqrt{6}+11\)
mà m là số nguyên
nên \(m\in\left\{2;3;...;20\right\}\)
=>Có 20-2+1=21-2=19 số nguyên m thỏa mãn