Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cmr : với mọi số nguyên n thì B=n2+3n+4 không chia hết cho 49
các cậu xét số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 và số chính phương chia 8 dư 0; 1 hoặc 4
mod là viết tắt của module, là kiến thức liên quan đến đồng dư nha bạn
Vì 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 = 1 (mod8) => 2n chia hết cho 8 => n chia hết cho 4
Do đó n+1 cũng là số lẻ, suy ra n + 1 = 1 (mod8) => n chia hết cho 8
Lại có (n + 1) (2n + 1) = 3n + 2
Ta thấy 3n + 2 = 2 (mod3)
Suy ra (n + 1) (2n + 1) = 2 (mod3)
Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ nên n + 1 = 2n + 1 = 1 (mod3)
Do đó n chia hết cho 3
đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\\3n+1=b^2\end{matrix}\right.\)(\(a,b\in Z\))
\(\Rightarrow a^2+b^2=5n+2\equiv2\left(mod5\right)\)
số chính phương chia 5 chỉ có thể dư 0;1;4 nên \(a^2\equiv1\left(mod5\right);b^2\equiv1\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow2n+1\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow n⋮5\)(1)
giờ cần chứng minh \(n⋮8\)
từ cách đặt ta cũng suy ra \(n=b^2-a^2\)
vì số chính phương lẻ chia 8 dư 1 mà 2n+1 lẻ \(\Rightarrow a^2\equiv1\left(mod8\right)\)hay \(2n\equiv0\left(mod8\right)\)\(\Rightarrow n⋮4\) nên n chẵn \(\Rightarrow b^2=3n+1\)cũng là số chính phương lẻ \(\Rightarrow b^2\equiv1\left(mod8\right)\)
do đó \(b^2-a^2\equiv0\left(mod8\right)\)hay \(n⋮8\)(2)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow n⋮40\)(vì gcd(5;8)=1)
Nhận xét rằng một số nguyên dương không thể chia 33 dư 22 nên nếu nn không chia hết cho 33 thì một trong hai số n+1,2n+1n+1,2n+1 có một số chia 3 dư 2 nên vô lý. Vậy n⋮3n⋮3. (1)(1)
Có 2n+12n+1 là một chính phương lẻ nên 2n+12n+1 chia 88 dư 11 nên nn chẵn nên n+1n+1 cũng là số chính phương lẻ nên n+1n+1 chia 88 dư 11 nên nn chia hết cho 88. (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) có n⋮24n⋮24.
Nhận xét rằng một số nguyên dương không thể chia 33 dư 22 nên nếu nn không chia hết cho 33 thì một trong hai số n+1,2n+1n+1,2n+1 có một số chia 3 dư 2 nên vô lý. Vậy n⋮3n⋮3Có 2n+12n+1 là một chính phương lẻ nên 2n+12n+1 chia 88 dư 11 nên nn chẵn nên n+1n+1 cũng là số chính phương lẻ nên n+1n+1 chia 88 dư 11 nên nn chia hết cho 88. (2)(2)
Từ (1),(2)(1),(2) có n⋮24n⋮24.
help me
Bước 1: Đặt các điều kiện chính phương Gọi 𝑛 + 1 = 𝑎 2 n+1=a 2 và 2 𝑛 + 1 = 𝑏 2 2n+1=b 2 , với 𝑎 a và 𝑏 b là các số nguyên dương. Từ 𝑛 + 1 = 𝑎 2 n+1=a 2 , ta có: 𝑛 = 𝑎 2 − 1 n=a 2 −1 Thay vào 2 𝑛 + 1 = 𝑏 2 2n+1=b 2 , ta có: 2 ( 𝑎 2 − 1 ) + 1 = 𝑏 2 2(a 2 −1)+1=b 2 Giải phương trình này: 2 𝑎 2 − 2 + 1 = 𝑏 2 2a 2 −2+1=b 2 2 𝑎 2 − 1 = 𝑏 2 2a 2 −1=b 2 Vậy ta có phương trình: 2 𝑎 2 − 𝑏 2 = 1 2a 2 −b 2 =1 Bước 2: Tìm các nghiệm của phương trình Đây là một phương trình Diophantine bậc 2, có thể giải bằng cách thử các giá trị nhỏ của 𝑎 a và kiểm tra xem 𝑏 b có phải là một số nguyên hay không. Với 𝑎 = 1 a=1: 2 𝑎 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 2 ( 1 ) 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 𝑏 2 = 1 ⟹ 𝑏 = 1 2a 2 −b 2 =1⟹2(1) 2 −b 2 =1⟹2−b 2 =1⟹b 2 =1⟹b=1 Với 𝑎 = 1 a=1, ta có 𝑏 = 1 b=1, và 𝑛 = 𝑎 2 − 1 = 1 2 − 1 = 0 n=a 2 −1=1 2 −1=0. Tuy nhiên, 𝑛 = 0 n=0 không phải là số nguyên dương, do đó loại trừ trường hợp này. Với 𝑎 = 2 a=2: 2 𝑎 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 2 ( 2 ) 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 8 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 𝑏 2 = 7 2a 2 −b 2 =1⟹2(2) 2 −b 2 =1⟹8−b 2 =1⟹b 2 =7 Không có số nguyên 𝑏 b nào thỏa mãn 𝑏 2 = 7 b 2 =7, vì vậy loại trừ trường hợp này. Với 𝑎 = 3 a=3: 2 𝑎 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 2 ( 3 ) 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 18 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 𝑏 2 = 17 2a 2 −b 2 =1⟹2(3) 2 −b 2 =1⟹18−b 2 =1⟹b 2 =17 Không có số nguyên 𝑏 b nào thỏa mãn 𝑏 2 = 17 b 2 =17, vì vậy loại trừ trường hợp này. Với 𝑎 = 4 a=4: 2 𝑎 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 2 ( 4 ) 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 32 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 𝑏 2 = 31 2a 2 −b 2 =1⟹2(4) 2 −b 2 =1⟹32−b 2 =1⟹b 2 =31 Không có số nguyên 𝑏 b nào thỏa mãn 𝑏 2 = 31 b 2 =31, vì vậy loại trừ trường hợp này. Với 𝑎 = 5 a=5: 2 𝑎 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 2 ( 5 ) 2 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 50 − 𝑏 2 = 1 ⟹ 𝑏 2 = 49 2a 2 −b 2 =1⟹2(5) 2 −b 2 =1⟹50−b 2 =1⟹b 2 =49 Với 𝑏 = 7 b=7, ta có nghiệm 𝑏 2 = 49 b 2 =49, do đó 𝑏 = 7 b=7. Khi 𝑎 = 5 a=5 và 𝑏 = 7 b=7, ta tính được: 𝑛 = 𝑎 2 − 1 = 5 2 − 1 = 25 − 1 = 24 n=a 2 −1=5 2 −1=25−1=24 Bước 3: Kiểm tra chia hết cho 24 Chúng ta có 𝑛 = 24 n=24, và rõ ràng 24 24 chia hết cho 24. Kết luận Số nguyên dương 𝑛 n thỏa mãn yêu cầu của bài toán là 24 24