Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}f\left(x\right)=2-a+b\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}f\left(x\right)=-4+2a\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=4+2a\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=a+b\)
Để hs có giới hạn tại \(x=1;-1\) thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}2-a+b=-4+2a\\4+2a=a+b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-b=2\\a-b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=7\end{matrix}\right.\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}=f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\sqrt{4-x^2}=\sqrt{3}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(x^2+bx+c\right)=b+c+1\)
Để hàm số liên tục tại x=1 \(\Rightarrow b+c+1=\sqrt{3}\)
\(f'\left(1^-\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(f'\left(1^+\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(2x+b\right)=b+2\)
Để hàm số có đạo hàm tại \(x=1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c+1=\sqrt{3}\\b+2=-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-2-\frac{1}{\sqrt{3}}\\c=1+\frac{4}{\sqrt{3}}\end{matrix}\right.\)
Để hs có đạo hàm trước hết nó phải liên tục
\(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=f\left(2\right)=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=2b+c+4\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=f\left(x\right)\Rightarrow2b+c+4=1\Rightarrow2b+c=-3\)
Mặt khác ta có: \(f'\left(x\right)_{-\sqrt{5}\le x\le2}=\frac{-x}{\sqrt{5-x^2}}\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f'\left(x\right)=\frac{-2}{1}=-2\)
\(f'\left(x\right)_{x>2}=2x+b\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f'\left(x\right)=b+4\)
Để hàm số có đạo hàm tại \(x=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c=-3\\b+4=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-6\\c=9\end{matrix}\right.\)
Đáp án D
Ta có: f(2) = 4
lim x → 2 − f ( x ) = lim x → 2 − x 2 = 4
lim x → 2 + f ( x ) = lim x → 2 + − x 2 2 + b x − 6 = 2 b − 8
Vì hàm số có đạo hàm tại x= 2 nên hàm số liên tục tại x = 2
⇔ lim x → 2 − f ( x ) = lim x → 2 + f ( x ) ⇔ 4 = 2 b − 8 ⇔ b = 6
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 2 - 2 = - 4\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow a = - 4\).
Vậy với \(a = - 4\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(P'\left(x\right)=2ax+b\Rightarrow P''\left(x\right)=2a\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P'\left(1\right)=2a+b=0\\P''\left(1\right)=2a=-2\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=2\end{matrix}\right.\)