Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
A = a3 +b3 + c3+a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
= a2(a+b+c) + b2(a+b+c)+c2(a+b+c)
= (a+b+c)(a2+b2+c2)
V ới a+b+c = 1 thì A = a2+b2+c2
Ta có a2+b2 ≥2ab
a2+ c2 ≥ 2ac
b2 + c2 ≥ 2bc
2(a2 + b2 +c2) ≥ 2(ab + bc + ac)(1)
Cộng thêm vào hai vế của (1) với a2 + b2 + c2
⇔ 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a+b+c)2
⇔ 3A ≥ 1/3
⇔ A≥1/3 Dấu “ = ” xảy ra khi a= b =c
Mà a+b+c = 1 nên a =b=c = 1/3
Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất là 1/3khi a =b=c = 1/3
a) \(A=\left(\frac{1}{1-x}+\frac{2}{x+1}-\frac{5-x}{1-x^2}\right):\frac{1-2x}{x^2-1}\) (ĐKXĐ: \(x\ne\pm1\) )
\(=\left(\frac{x+1+2\left(1-x\right)-5+x}{1-x^2}\right):\frac{1-2x}{x^2-1}\)
\(=\left(\frac{x+1+2-2x-5+x}{1-x^2}\right):\frac{1-2x}{x^2-1}\)
\(=\left(\frac{-2}{1-x^2}\right):\frac{1-2x}{x^2-1}\)
\(=\frac{2}{x^2-1}.\frac{x^2-1}{1-2x}=\frac{2}{1-2x}\)
b) Để x nhận giá trị nguyên <=> 2 chia hết cho 1 - 2x
<=> 1-2x thuộc Ư(2) = {1;2;-1;-2}
Nếu 1-2x = 1 thì 2x = 0 => x= 0
Nếu 1-2x = 2 thì 2x = -1 => x = -1/2
Nếu 1-2x = -1 thì 2x = 2 => x =1
Nếu 1-2x = -2 thì 2x = 3 => x = 3/2
Vậy ....
Sửa đề: tính P=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(1\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\left(2\right)\end{cases}}\)
- Xét (1) ta có: \(a+b+c=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-a=b+c\\-b=c+a\\-c=a+b\end{cases}}\)
=> \(P=\frac{a+b}{b}\cdot\frac{b+c}{c}\cdot\frac{c+a}{a}=\frac{\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{bca}=-\frac{abc}{abc}=-1\)
- Xét (2) ta có: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Rightarrow a=b=c}\)
=>\(P=\frac{a+b}{b}\cdot\frac{b+c}{c}\cdot\frac{c+a}{a}=\frac{2a}{a}\cdot\frac{2a}{a}\cdot\frac{2a}{a}=2.2.2=8\)
Vậy P=-1 hoặc P=8
Ta có; \(a^3+b^3+c^3=3abc\) hay \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
Suy ra \(a+b+c=0\) hoặc a = b = c. (bạn tự chứng minh)
* Nếu a + b + c = 0 thì:
\(P=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}=-1\)
*Nếu a = b = c thì \(P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
Do \(a,b,c\) là các số dương suy ra:
\(a>0;b>0;c>0\)
Suy ra: \(a+b+c>0\)
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\left(a+b+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\) hoặc \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
Do \(a+b+c>0\)
Suy ra: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Suy ra: \(a-b=0;b-c=0\) và \(c-a=0\)
Suy ra: \(a=b=c\)
Suy ra: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\)
Ta có: \(\left(\frac{a}{b}-1\right)+\left(\frac{b}{c}-1\right)+\left(\frac{c}{a}-1\right)=\left(1-1\right)+\left(1-1\right)+\left(1-1\right)=0\)
Vậy ...
Sau khi giải bài này xong mình cảm thấy hoa mắt và chóng mặt, mong GP sẽ gấp đôi :)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab\right)\)\(ab\))
Mà: \(a+b+c=0\)
Vậy: \(A=0.\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
\(A=0\)
Hk tốt
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=8abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ac+c^2\right)-8abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^2b+abc+a^2c+ac^2+ab^2+b^2c+abc+bc^2-8abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-2abc+c^2b\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)+\left(ab^2-2abc+ac^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2+a\left(b-c\right)^2=0\)
Do a;b;c dương nên \(b\left(a-c\right)^2;c\left(a-b\right)^2;a\left(b-c\right)^2\ge0\forall a;b;c\)
\(\Rightarrow b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2+a\left(b-c\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) Thay vào P ta được :
\(P=\frac{a^3+a^3+a^3}{a.a.a}=\frac{3a^3}{a^3}=3\)
Đặt: `a-b=x;b-c=y;c-a=z`
`=>xyz=2025` và `A=x^3+y^3+z^3`
Ta có:
`A=x^3+y^3+z^3=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3`
`=[(x+y)^3+z^3)-3xy(x+y)`
`=(x+y+z)^3-3(x+y)z(x+y+z)-3xy(x+y)`
`=(x+y+z)^3-3(x+y)[z(x+y+z)+xy]`
Mà ta lại có: `x+y+z=a-b+b-c+c-a=0`
`=>A=0^3-3(x+y)(z*0+xy)`
`=-3(x+y)xy`
`x+y+z=0<=>x+y=-z`
`=>A=-3*(-z)xy=3xyz=3*2025=6075`
Em ko biết nha!