Question

[lê nhi]

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H​

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D). Chứng minh: AE.AD = AH.AO  

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H​

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D). Chứng minh: AE.AD = AH.AO  cuu e voi

Answer 1

[Bùi Tường Vân]

Đề bài:

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

Lời giải:

• Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
  ��⊥��vaˋ��⊥��AB⊥OBvaˋAC⊥OC
• Gọi H là giao điểm của OA và BC.
• Ta sẽ chứng minh ��⊥��OA⊥BC tại H bằng cách chứng minh rằng góc ∠���=∠���+∠���=90∘∠OAH=∠OAB+∠OAC=90∘.
  Các bước chứng minh:
• 1. Xét tam giác ���OAB, vì ��⊥��AB⊥OB, nên ta có ∠���=90∘∠OAB=90∘.
  2. Tương tự, xét tam giác ���OAC, vì ��⊥��AC⊥OC, ta có ∠���=90∘∠OAC=90∘.
  3. Ta thấy rằng ��∥��AB∥AC, vì cả hai đều là tiếp tuyến tại B và C, và ��OA là đường nối từ A ra ngoài đường tròn.
  4. Vậy, từ tính chất tiếp tuyến của đường tròn và tính chất của góc tại điểm ngoài đường tròn, ta có thể kết luận rằng:��⊥��tại �.OA⊥BCtạiH.Đây chính là kết quả cần chứng minh.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D). Chứng minh: ��⋅��=��⋅��AE⋅AD=AH⋅AO.

Lời giải:

• Ta có: ��BD là đường kính của đường tròn (O), do đó ∠���=90∘∠BCD=90∘ (theo định lý đường kính vuông góc với đường tròn tại mọi điểm trên đường tròn).
• Cả ba điểm A, B, C nằm trên một mặt phẳng, và ��BD là đường kính, nên ��BD chia đường tròn thành hai nửa, và ��AE cắt lại tại E.

Chứng minh:

1. Xét tam giác vuông ���AHD, do ��⊥��AH⊥BC (theo phần a), ta có:��2=��⋅��AH2=AE⋅AD
2. Từ đó, ta áp dụng định lý Thales cho tỉ số cạnh của tam giác vuông ���AHD với các đoạn tiếp tuyến:��⋅��=��⋅��AE⋅AD=AH⋅AOĐiều này chứng minh được mối quan hệ cần thiết.

Kết luận:

• Cả hai phần a và b đều đã được chứng minh dựa trên các tính chất của tiếp tuyến và định lý liên quan đến các đường kính và đoạn thẳng trong hình học Euclid.