Question

[Vũtiktok]

2. Cho A= a + a ^ 2 + a ^ 3 +...+a^ 3024 Chứng minh rằng A:( a + a ^ 5 + a ^ 9 +...+a^ 2021 )
 

Answer 1

[Bùi Tường Vân]

Chúng ta có biểu thức sau:

�=�+�2+�3+⋯+�3024A=a+a2+a3+⋯+a3024

và

�=�+�5+�9+⋯+�2021B=a+a5+a9+⋯+a2021

a) Xác định tổng A

Biểu thức �A là tổng của các lũy thừa của �a từ �1a1 đến �3024a3024:

�=�+�2+�3+⋯+�3024A=a+a2+a3+⋯+a3024

Đây là một tổng có dạng tổng của các lũy thừa của �a, có thể viết lại như sau:

�=∑�=13024��A=k=1∑3024​ak

b) Xác định tổng B

Biểu thức �B là tổng các số có dạng ��ak, trong đó chỉ các lũy thừa của �a có chỉ số chia hết cho 4, tức là:

�=�+�5+�9+⋯+�2021B=a+a5+a9+⋯+a2021

Chúng ta nhận thấy đây là một chuỗi với các lũy thừa của �a có chỉ số dạng 4�+14k+1, từ �=0k=0 đến một giá trị nhất định. Để hiểu rõ hơn, ta có thể viết lại tổng này dưới dạng của một chuỗi:

�=∑�=0504�4�+1B=k=0∑504​a4k+1

c) Chứng minh �A chia hết cho �B

Để chứng minh �A chia hết cho �B, chúng ta cần chỉ ra rằng �A có thể được viết dưới dạng một bội số của �B.

Ta biết rằng mỗi lũy thừa trong �A đều có dạng ��ak với �k chạy từ 1 đến 3024. Còn trong �B, các chỉ số mũ là 4�+14k+1, do đó các mũ này nằm trong một dãy con của các mũ trong �A.

Cụ thể hơn, �B bao gồm các số có dạng �1,�5,�9,…,�2021a1,a5,a9,…,a2021, tức là các mũ theo công thức 4�+14k+1. Mỗi số trong �A đều là một bội số của �1,�5,�9,…a1,a5,a9,…. Do đó, �A có thể được chia cho �B mà không dư.

Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh rằng �A chia hết cho �B, tức là �÷�A÷B là một số nguyên.