Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Hattory Heiji - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+3\frac{1}{a}.\frac{1}{b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-3\frac{1}{a}\frac{1}{b}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-3\frac{1}{a}\frac{1}{b}\left(-\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=3\frac{1}{abc}=\frac{3}{abc}\)
Ta lại có :
\(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{bca}{b^3}+\frac{cab}{c^3}\)
\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=abc.\frac{3}{abc}=3\)
\(\)
Bài làm:
Ta có: \(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}=\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}+\frac{abc}{c^3}\)
\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
CM HĐT phụ:
Ta có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)+3abc\)
\(=\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\right]+3abc\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\right]+3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc\)
Áp dụng vào trên ta được:
\(abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
\(=abc\left[\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{ab}-\frac{1}{bc}-\frac{1}{ca}\right)+\frac{3}{abc}\right]\)
Mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
\(P=abc.\frac{3}{abc}=3\)
Vậy P = 3
1./ Từ \(a^2\left(b+c\right)=b^2\left(c+a\right)\Leftrightarrow a^2b-ab^2+ca^2-cb^2=0\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0.\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab+bc+ac\right)=0.\)Mà \(a\ne b\Rightarrow ab+bc+ac=0\)(1)
2./ Từ \(a^2\left(b+c\right)=b^2\left(c+a\right)\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+c}=\frac{b^2}{b+c}=\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b\)Vì \(a\ne b\)\(\Rightarrow a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\).
\(\Rightarrow2012=a^2\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=\left(a+b\right)\left(ab+bc+ac+c^2\right)=c^2\left(a+b\right)\)
3./ Vậy \(M=c^2\left(a+b\right)=2012.\)
abc = 1 => a3b3c3=1
<=> \(a^3+b^3+c^3+2a^3b^3+2b^3c^3+2a^3c^3+3a^3b^3c^3\ge3a^2b+3b^2c+3c^2a+3\)
Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số dương ta có :
\(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^6c^6}\) <=> \(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3\ge3\)Dấu = xảy ra khi a=b=c (1)
Tương tự ta có : \(a^3b^3c^3+a^3b^3+a^3\ge3a^2b\)Dấu = xảy ra duy nhất khi a=b=c=1 (2)
\(a^3b^3c^3+b^3c^3+b^3\ge3b^2c\) Dấu = xảy ra duy nhất khi a=b=c=1 (3)
\(a^3b^3c^3+a^3c^3+c^3\ge3c^2a\)Dấu = xảy ra duy nhất khi a=b=c=1 (4)
Cộng (1),(2),(3),(4) vế theo vế ta được ĐPCM (Dấu = xảy ra khi a=b=c=1)
Đây là cách giải của mình k rõ bạn làm sao nếu có cách khác hay hơn thì xin chỉ giáo :D
Ta có
\(a^2\left(b+c\right)=b^2\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c-b^2c-ab^2=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a^2-b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[ab+c\left(a+b\right)\right]=0\)
Do \(a\ne b\Rightarrow a-b\ne0\)
\(\Rightarrow ab+c\left(a+b\right)=0\) (1)
Ta có
\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)=4024\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+b^2c=4024\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left(a^2+b^2\right)=4024\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]=4024\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)^2-2abc=4024\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[ab+c\left(a+b\right)\right]-2abc=4024\) (2)
Thay (1) vào (2)
\(\Rightarrow-2abc=4024\Leftrightarrow-abc=2012\)
(1)\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)=-ab\) Nhân cả 2 vế với c
\(\Rightarrow c^2\left(a+b\right)=-abc\)
\(\Rightarrow M=c^2\left(a+b\right)=-abc=2012\)