Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(A=2+2^2+2^3+\dots+2^{60}\)
\(2A=2^2+2^3+2^4+\dots+2^{61}\)
\(2A-A=\left(2^2+2^3+2^4+\dots+2^{61}\right)-\left(2+2^2+2^3+\dots+2^{60}\right)\)
\(A=2^{61}-2\)
Vậy: \(A=2^{61}-2\).
b)
+) \(A=2+2^2+2^3+\dots+2^{60}\)
\(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6\right)+\dots+\left(2^{59}+2^{60}\right)\)
\(=2\cdot\left(1+2\right)+2^3\cdot\left(1+2\right)+2^5\cdot\left(1+2\right)+\dots+2^{59}\cdot\left(1+2\right)\)
\(=2\cdot3+2^3\cdot3+2^5\cdot3+\dots+2^{59}\cdot3\)
\(=3\cdot\left(2+2^3+2^5+\dots+2^{59}\right)\)
Vì \(3\cdot\left(2+2^3+2^5+\dots+2^{59}\right)⋮3\) nên \(A⋮3\)
+) \(A=2+2^2+2^3+\dots+2^{60}\)
\(=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+\left(2^9+2^{10}+2^{11}+2^{12}\right)+\dots+\left(2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)
\(=2\cdot\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\cdot\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^9\cdot\left(1+2+2^2+2^3\right)+\dots+2^{57}\cdot\left(1+2+2^2+2^3\right)\)
\(=2\cdot15+2^5\cdot15+2^9\cdot15+\dots+2^{57}\cdot15\)
\(=15\cdot\left(2+2^5+2^9+\dots+2^{57}\right)\)
Vì \(15⋮5\) nên \(15\cdot\left(2+2^5+2^9+\dots+2^{57}\right)⋮5\)
hay \(A\vdots5\)
+) \(A=2+2^2+2^3+\dots+2^{60}\)
\(=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+\left(2^7+2^8+2^9\right)+\dots+\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)
\(=2\cdot\left(1+2+2^2\right)+2^4\cdot\left(1+2+2^2\right)+2^7\cdot\left(1+2+2^2\right)+\dots+2^{58}\cdot\left(1+2+2^2\right)\)
\(=2\cdot7+2^4\cdot7+2^7\cdot7+\dots+2^{58}\cdot7\)
\(=7\cdot\left(2+2^4+2^7+\dots+2^{58}\right)\)
Vì \(7\cdot\left(2+2^4+2^7+\dots+2^{58}\right)⋮7\) nên \(A⋮7\)
$Toru$
a) \(A=2+2^2+...+2^{2024}\)
\(2A=2^2+2^3+...+2^{2025}\)
\(2A-A=2^2+2^3+...+2^{2025}-2-2^2-...-2^{2024}\)
\(A=2^{2025}-2\)
b) \(2A+4=2n\)
\(\Rightarrow2\cdot\left(2^{2025}-2\right)+4=2n\)
\(\Rightarrow2^{2026}-4+4=2n\)
\(\Rightarrow2n=2^{2026}\)
\(\Rightarrow n=2^{2026}:2\)
\(\Rightarrow n=2^{2025}\)
c) \(A=2+2^2+2^3+...+2^{2024}\)
\(A=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2023}+2^{2024}\right)\)
\(A=2\cdot3+2^3\cdot3+...+2^{2023}\cdot3\)
\(A=3\cdot\left(2+2^3+...+2^{2023}\right)\)
d) \(A=2+2^2+2^3+...+2^{2024}\)
\(A=2+\left(2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7\right)+...+\left(2^{2022}+2^{2023}+2^{2024}\right)\)
\(A=2+2^2\cdot7+2^5\cdot7+...+2^{2022}\cdot7\)
\(A=2+7\cdot\left(2^2+2^5+...+2^{2022}\right)\)
Mà: \(7\cdot\left(2^2+2^5+...+2^{2022}\right)\) ⋮ 7
⇒ A : 7 dư 2
Sửa đề: \(A=2^0+2^1+2^2+...+2^{99}\)
\(=\left(2^0+2^1\right)+\left(2^2+2^3\right)+...+\left(2^{98}+2^{99}\right)\)
\(=\left(1+2\right)+2^2\left(1+2\right)+...+2^{98}\left(1+2\right)\)
\(=3\left(1+2^2+...+2^{98}\right)⋮3\)
a: \(A=2\left(1+2+2^2\right)+...+2^{19}\left(1+2+2^2\right)\)
\(=7\left(2+...+2^{19}\right)⋮7\)
a: \(A=2+2^2+...+2^{60}\)
=>\(2A=2^2+2^3+...+2^{61}\)
=>\(2A-A=2^2+2^3+...+2^{61}-2-2^2-...-2^{60}\)
=>\(A=2^{61}-2\)
b:
Ta có: \(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\)
\(=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)
\(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\)
\(=7\left(2+2^4+...+2^{58}\right)⋮7\)
\(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\)
\(=\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+...+\left(2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)
\(=2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{57}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)
\(=15\left(2+2^5+...+2^{57}\right)\)
mà \(15⋮3;15⋮5\)
nên \(A⋮3;A⋮5\)
Tổng A có dạng một dãy cấp số nhân với công bội là 2:
A=2+22+23+...+260A = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{60}Ta có thể viết lại A như sau:
A=2(1+2+22+23+...+259)A = 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{59})Sử dụng công thức tổng của một dãy cấp số nhân:
1+2+22+23+...+259=260−12−1=260−11 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{59} = \frac{2^{60} - 1}{2 - 1} = 2^{60} - 1Vậy:
A=2(260−1)=261−2A = 2(2^{60} - 1) = 2^{61} - 2 B) Chứng tỏ rằng A chia hết cho 3, 5, 7Ta có:
A=261−2A = 2^{61} - 2Chia hết cho 3:
Ta cần chứng minh 261−22^{61} - 2 chia hết cho 3. Ta xem xét phần dư của 2612^{61} khi chia cho 3. Ta thấy rằng:
21≡2(mod3)2^1 \equiv 2 \pmod{3} 22≡1(mod3)2^2 \equiv 1 \pmod{3} 23≡2(mod3)2^3 \equiv 2 \pmod{3} 24≡1(mod3)2^4 \equiv 1 \pmod{3} ......Ta nhận thấy rằng 2nmod 32^n \mod 3 lặp lại chu kỳ 2,1. Do đó, với 2612^{61}:
261≡2(mod3)2^{61} \equiv 2 \pmod{3} 261−2≡2−2≡0(mod3)2^{61} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \pmod{3}Vậy AA chia hết cho 3.
Chia hết cho 5:
Ta xem xét phần dư của 2612^{61} khi chia cho 5. Ta có:
21≡2(mod5)2^1 \equiv 2 \pmod{5} 22≡4(mod5)2^2 \equiv 4 \pmod{5} 23≡3(mod5)2^3 \equiv 3 \pmod{5} 24≡1(mod5)2^4 \equiv 1 \pmod{5} ......Ta nhận thấy rằng 2nmod 52^n \mod 5 lặp lại chu kỳ 4,3,2,1. Do đó, với 2612^{61}:
261≡2(mod5)2^{61} \equiv 2 \pmod{5} 261−2≡2−2≡0(mod5)2^{61} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \pmod{5}Vậy AA chia hết cho 5.
Chia hết cho 7:
Ta xem xét phần dư của 2612^{61} khi chia cho 7. Ta có:
21≡2(mod7)2^1 \equiv 2 \pmod{7} 22≡4(mod7)2^2 \equiv 4 \pmod{7} 23≡1(mod7)2^3 \equiv 1 \pmod{7} 24≡2(mod7)2^4 \equiv 2 \pmod{7} ......Ta nhận thấy rằng 2nmod 72^n \mod 7 lặp lại chu kỳ 3,1,2,4. Do đó, với 2612^{61}:
261≡2(mod7)2^{61} \equiv 2 \pmod{7} 261−2≡2−2≡0(mod7)2^{61} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \pmod{7}Vậy AA chia hết cho 7.
Do đó, A=261−2A = 2^{61} - 2 chia hết cho cả 3, 5 và 7.