Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho x,y là các số nguyên thỏa mãn:(x^2+1)chia hết cho(xy +1). Chứng minh (y^2+1) chia hết cho (xy+1)
Vì x^2+1 chia hết xy+1 nên y^2(x^2+1) chia hết xy+1
hay x^2y^2 +y^2 chia hết xy+1.
Ta có x^2y^2+y^2=(x^2y^2 +2xy+1) +y^2 -2xy-1 Thêm và bớt 2xy+1
=(x^2y^2 +2xy+1) -2(xy+1) +y^2+1
=(xy+1)^2 -2(xy+1) +y^2+1 suy ra y^2+1 chia hết xy+1
Chúng ta cần chứng minh các điều kiện sau cho các số nguyên dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\) và \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Bài toán phần a)
Chứng minh rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Giải: Ta đã biết rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), tức là:
\(\frac{x^{3} + 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .\)
Ta có thể xem xét \(x^{3} + 1\) dưới dạng nhân tử:
\(x^{3} + 1 = \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .\)
Ta cần chứng minh rằng \(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right)\) chia hết cho \(y + 1\). Điều này có nghĩa là \(y + 1\) là ước của \(x^{3} + 1\), hay là:
\(y + 1 \mid \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .\)
Giả sử rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), thì sẽ có một số \(k\) sao cho:
\(x^{3} + 1 = k \left(\right. y + 1 \left.\right) ,\)
tức là \(k\) là một số nguyên. Như vậy, \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), và bài toán đã được chứng minh cho phần a.
Bài toán phần b)
Chứng minh rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Giải: Ta cần chứng minh rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), tức là:
\(\frac{x^{3} y^{3} - 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .\)
Ta có thể biến đổi \(x^{3} y^{3} - 1\) theo công thức phân tích đa thức:
\(x^{3} y^{3} - 1 = \left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right) .\)
Ta cần chứng minh rằng \(\left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right)\) chia hết cho \(y + 1\).
Giả sử rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), ta có:
\(x^{3} y^{3} - 1 = m \left(\right. y + 1 \left.\right) ,\)
với một số nguyên \(m\), do đó \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), hoàn thành bài toán phần b.
Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được rằng:
- a) \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\),
- b) \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình,
trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z
=> xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3=> xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1,
thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2,
thay vào (2), => z = 3.Nếu xy = 3,
do x ≤ y nên x = 1 và y = 3,
thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3)
ta có : \(2^{33}\equiv8\)(mod31)
\(\left(2^{33}\right)^{11}=2^{363}\equiv8\)(mod31)
\(\left(2^{363}\right)^5=2^{1815}\equiv1\)(mod31)
\(\left(2^{33}\right)^6\equiv2^{198}\equiv8\)(mod31)
=> \(2^{1815}.2^{198}:2^2=2^{2011}\equiv1.8:4\equiv2\)(mod31)
vậy số dư pháp chia trên là 2
Giả sử 1 \(<\) x \(\le\)y. Đặt x+1=yk ( k là một là một số tự nhiên khác 0)
Ta có : x+1 = yk \(\le\) y+1 \(<\) y+y = 2y
=> yk \(<\) 2y
=> k\(<\) 2
Mà k là một là một số tự nhiên khác 0
Nên k=1
Thay k = x+1 vào y+1 ta được
x+1+1 = x+2 chia hết cho x
Mà x chia hết cho x nên 2 chia hết cho x
=> x\(\in\left\{1;2\right\}\)
Với x=1 thì y=x+1=1+1=2
Với x=2 thì y=2+1=3
Vậy các cặp số (x;y) thỏa mãn : (1;2) ; (2;3)
\(x+8⋮6,y+2012⋮6\)
\(\Rightarrow x,y⋮2\) và \(x,y\) chia 3 dư 1.
Vì \(x,y⋮2\) và \(4^x⋮2\) nên \(4^x+x+y⋮2\)
Vì 4 chia 3 dư 1 nên \(4^x\) chia 3 dư 1. Lại có \(x,y\) chia 3 dư 1 nên \(4^x+x+y⋮3\)
Từ đó suy ra \(4^x+x+y⋮6\)