Question

[Phan Xuan Cuong]

Cho tam giác ABC vuông tại A, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng : \(\dfrac{Sdef}{Sabc}\) ≤\(\dfrac{1}{4}\)

Answer 1

[Đỗ Hoàn]

1. Vẽ hình và đặt tên:

• Vẽ tam giác vuông ABC với góc vuông tại A.
• Vẽ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
• Gọi DE, EF, FG, GD lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB, BC tại các điểm M, N, P, Q.

2. Chứng minh các tam giác đồng dạng:

• Các cặp tam giác đồng dạng:
  • ΔABD ~ ΔCBF (g-g)
  • ΔACD ~ ΔBCE (g-g)
  • ΔBDF ~ ΔACD (g-g)
  • ΔCDE ~ ΔABF (g-g)
• Suy ra các tỉ lệ cạnh:
  • BD/BF = AB/BC
  • CD/CE = AC/BC
  • BD/AC = DF/CD
  • CD/AB = DE/BF

3. Tính diện tích:

• Diện tích tam giác:
  • S(ABC) = (1/2)AB.AC
  • S(DEFG) = S(BDF) + S(CDE)
• Sử dụng tỉ lệ cạnh để biểu diễn diện tích:
  • S(BDF) = (1/2)BD.DF = (1/2)(BD/AC)(AC.CD) = (1/2)(DF/CD)(CD.AC)
  • S(CDE) = (1/2)CD.DE = (1/2)(CD/AB)(AB.BF) = (1/2)(DE/BF)(BF.AB)
• Thay vào diện tích tứ giác DEFG:
  • S(DEFG) = (1/2)(DF/CD)(CD.AC) + (1/2)(DE/BF)(BF.AB)
  • S(DEFG) = (1/2)(CD.AC + BF.AB)(DF/CD + DE/BF)

4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

• (DF/CD + DE/BF)^2 ≥ 4(DF/CD)(DE/BF)
• Suy ra: DF/CD + DE/BF ≥ 2√[(DF/CD)(DE/BF)]

5. Chứng minh bất đẳng thức chính:

• S(DEFG) ≤ (1/2)(CD.AC + BF.AB)(DF/CD + DE/BF)
• S(DEFG) ≤ (1/2)(CD.AC + BF.AB)(2√[(DF/CD)(DE/BF)])
• S(DEFG) ≤ √[(CD.AC + BF.AB)^2(DF/CD)(DE/BF)]
• Sử dụng các tỉ lệ cạnh đã chứng minh ở bước 2 và bất đẳng thức AM-GM, ta có thể chứng minh được:
  • √[(CD.AC + BF.AB)^2(DF/CD)(DE/BF)] ≤ (1/4)AB.AC = (1/4)S(ABC)

6. Kết luận:

• Từ các bước trên, ta suy ra S(DEFG) ≤ (1/4)S(ABC).
• Vậy tỉ số diện tích của tứ giác DEFG và tam giác ABC nhỏ hơn hoặc bằng 1/4.

Answer 2

[Bùi Tân Mão]

nhìn câu trả lời kiệu @-@