K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 8

 Nếu 1 trong 2 số \(x,y\) không chia hết cho 5 thì hiển nhiên \(x^2-xy+y^2⋮̸5\)

 Do đó, ta chỉ xét trường hợp \(x,y\) hoặc cùng chia hết cho 5 hoặc đều không chia hết cho 5.

 Nếu \(x,y⋮̸5\) thì \(x=5z+r\left(z,r\inℕ;1\le r\le4\right)\) và \(y=5t+r'\left(t,r'\inℕ;1\le r'\le4\right)\)

 

 Khi đó \(x^2-xy+y^2=\left(5z+r\right)^2-\left(5z+r\right)\left(5t+r'\right)+\left(5t+r'\right)^2\)

\(=25z+10zr+r^2-25zt-5zr'-5tr-rr'+25t^2+10tr'+r'^2\)

\(=5P+r^2-rr'+r'^2\) 

\(=55P+\left(r+r'\right)^2-3rr'\)

Do \(rr'⋮̸5\) nên nếu \(r+r'⋮5\) thì \(x^2-xy+y^2⋮̸5\)(loại), do đó \(r+r'⋮̸5\)

Nếu \(r\equiv r'\) thì \(P=55P+4r^2-3r^2=55P+r^2⋮̸5\)

Do đó ta xét các TH:

\(\left(r,r'\right)=\left(1,2\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=3⋮̸5\), loại

\(\left(r,r'\right)=\left(1,3\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=7⋮̸5\), loại

\(\left(r,r'\right)=\left(2,4\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=12⋮̸5\), loại

\(\left(r,r'\right)=\left(3,4\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=13⋮̸5\), loại

Vậy \(x,y⋮5\). Làm tương tự đối với 11 (nhưng hơi dài chút)

Khi đó ta chứng minh được \(x,y⋮55\) 

\(\Rightarrow x^2-xy+y^2⋮55^2=3025\) (đpcm)

Mình sẽ suy nghĩ cách ngắn hơn nhé.

 

 

 

 

22 tháng 4 2016

đề thiếu
 

21 tháng 11 2019

\(x^2+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(1+xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=\frac{xy+1}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow xy+1=\left(x+y\right)^2\)

Vì x,y là các số hữu tỉ nên xy + 1 là bình phương của 1 số hữu tỉ (đpcm)

23 tháng 10 2023

Mình tự làm tận 1h nên hơi dài 1 tí nhưng chắc chắn đúng đó :))

Ta có: x2 + y2 + xy .- 3x - 3y + 3 = 0

     =>( x2 - 2x + 1) - x + ( y2 - 2y + 1) - y + xy + 1 = 0

     => (x-1)2 + (y-1)2 + ( -x + -y + xy +1) = 0

     => (x-1)2 + (y-1) + [(-x+ xy) + (-y+1)] = 0

    => (x-1)2 + (y-1)+ [ x(y-1) - (y-1)] = 0

    => (x-1)2 + (y-1)2 + (x-1)(y-1) = 0

    => (x-1)2 +  2.1/2.(x-1)(y-1) + (1/2)2.(y-1)2 + 3/4.(y-1)2 = 0

    => [x-1+1/2(y-1) ]2 + 3/4.(y-1)2  = 0

   Vì: [x-1+1/2(y-1) ] >= 0 với mọi x;y thuộc R

         3/4.(y-1)2 >= 0 với mọi y thuộc R

     => (x-1+1/2y -1/2 = 0) và ( y-1 = 0)

     => (x = 1/2 -1/2y+1) và (y=1)

      => x = y =1

Chỗ này thay giá trị vào biểu thức rồi chứng minh = cách chỉ ra các cơ số của từng lũy thừa là số nguyên là xong.

 

     

 

23 tháng 10 2023

đúng đó