Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(1+xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=\frac{xy+1}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow xy+1=\left(x+y\right)^2\)
Vì x,y là các số hữu tỉ nên xy + 1 là bình phương của 1 số hữu tỉ (đpcm)
Mình tự làm tận 1h nên hơi dài 1 tí nhưng chắc chắn đúng đó :))
Ta có: x2 + y2 + xy .- 3x - 3y + 3 = 0
=>( x2 - 2x + 1) - x + ( y2 - 2y + 1) - y + xy + 1 = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + ( -x + -y + xy +1) = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + [(-x+ xy) + (-y+1)] = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + [ x(y-1) - (y-1)] = 0
=> (x-1)2 + (y-1)2 + (x-1)(y-1) = 0
=> (x-1)2 + 2.1/2.(x-1)(y-1) + (1/2)2.(y-1)2 + 3/4.(y-1)2 = 0
=> [x-1+1/2(y-1) ]2 + 3/4.(y-1)2 = 0
Vì: [x-1+1/2(y-1) ]2 >= 0 với mọi x;y thuộc R
3/4.(y-1)2 >= 0 với mọi y thuộc R
=> (x-1+1/2y -1/2 = 0) và ( y-1 = 0)
=> (x = 1/2 -1/2y+1) và (y=1)
=> x = y =1
Chỗ này thay giá trị vào biểu thức rồi chứng minh = cách chỉ ra các cơ số của từng lũy thừa là số nguyên là xong.
Nếu 1 trong 2 số \(x,y\) không chia hết cho 5 thì hiển nhiên \(x^2-xy+y^2⋮̸5\).
Do đó, ta chỉ xét trường hợp \(x,y\) hoặc cùng chia hết cho 5 hoặc đều không chia hết cho 5.
Nếu \(x,y⋮̸5\) thì \(x=5z+r\left(z,r\inℕ;1\le r\le4\right)\) và \(y=5t+r'\left(t,r'\inℕ;1\le r'\le4\right)\)
Khi đó \(x^2-xy+y^2=\left(5z+r\right)^2-\left(5z+r\right)\left(5t+r'\right)+\left(5t+r'\right)^2\)
\(=25z+10zr+r^2-25zt-5zr'-5tr-rr'+25t^2+10tr'+r'^2\)
\(=5P+r^2-rr'+r'^2\)
\(=55P+\left(r+r'\right)^2-3rr'\)
Do \(rr'⋮̸5\) nên nếu \(r+r'⋮5\) thì \(x^2-xy+y^2⋮̸5\)(loại), do đó \(r+r'⋮̸5\)
Nếu \(r\equiv r'\) thì \(P=55P+4r^2-3r^2=55P+r^2⋮̸5\)
Do đó ta xét các TH:
\(\left(r,r'\right)=\left(1,2\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=3⋮̸5\), loại
\(\left(r,r'\right)=\left(1,3\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=7⋮̸5\), loại
\(\left(r,r'\right)=\left(2,4\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=12⋮̸5\), loại
\(\left(r,r'\right)=\left(3,4\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=13⋮̸5\), loại
Vậy \(x,y⋮5\). Làm tương tự đối với 11 (nhưng hơi dài chút)
Khi đó ta chứng minh được \(x,y⋮55\)
\(\Rightarrow x^2-xy+y^2⋮55^2=3025\) (đpcm)
Mình sẽ suy nghĩ cách ngắn hơn nhé.