Question

[43 HÀ MẠNH TRƯỜNG]

CMR với mọi số nguyên a,b,c,d thì (a-b).(a-c).(a-d).(b-c).(b-d).(c-d) chia hết cho 12

Answer 1

[Nguyễn Tuấn Tú]

Ta có:

+) Mọi số nguyên khi chia cho 3 luôn xảy ra 3 trường hợp là dư 0, dư 1, dư 2
⇒ Với mọi 4 số nguyên a, b, c, d thì luôn có 2 số có cùng số dư khi chia cho 3
⇒ Hiệu 2 số đó chia hết cho 3
\(\Rightarrow(a-b).(a-c).(a-d).(b-c).(b-d).(c-d)⋮3,\forall a,b,c,d\inℤ\) (*)

+) Mọi số nguyên khi chia cho 2 luôn xảy ra 2 trường hợp là dư 0 (chẵn), dư 1 (lẻ)
⇒ Với mọi 4 số nguyên a, b, c, d khi chia cho 2 thì luôn xảy ra các trường hợp sau:
-) TH1: 4 số nguyên a, b, c, d đồng tính chẵn lẻ (cùng chẵn hoặc cùng lẻ)
Khi đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)⋮2\\\left(a-c\right)⋮2\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow(a-b).(a-c).(a-d).(b-c).(b-d).(c-d)⋮4\)
 

-) TH2: 3 số nguyên đồng tính chẵn lẻ
Giả sử: 3 số đó là a, b, c
Khi đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)⋮2\\\left(b-c\right)⋮2\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow(a-b).(a-c).(a-d).(b-c).(b-d).(c-d)⋮4\)

-) TH2: 2 cặp số nguyên đồng tính chẵn lẻ
Giả sử: 2 cặp số đó là (a,b): (c,d)
Khi đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)⋮2\\\left(c-d\right)⋮2\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow(a-b).(a-c).(a-d).(b-c).(b-d).(c-d)⋮4\)

Từ kết quả các trường trên, ta suy ra:
\(\Rightarrow(a-b).(a-c).(a-d).(b-c).(b-d).(c-d)⋮4,\forall a,b,c,d\inℤ\) (**)

Mặt khác: \(\left(3,4\right)=1\) (***)

Từ (*), (**), (***) suy ra:
\(\Rightarrow(a-b).(a-c).(a-d).(b-c).(b-d).(c-d)⋮12,\forall a,b,c,d\inℤ\)

Vậy...