Question

[nguyễn văn an]

cho phương trình x²-2(m-1)x+m²-3=0(m là tham số).Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn:x₁²+2(m-1)x₂ ≤ 3m²+8

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-3\right)\)

\(=\left(2m-2\right)^2-4\left(m^2-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m^2+12=-8m+16\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-8m+16>=0

=>-8m>=-16

=>m<=2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+2\left(m-1\right)x_2< =3m^2+8\)

=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)< =3m^2+8\)

=>\(\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2< =3m^2+8\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2< =3m^2+8\)

=>\(\left(2m-2\right)^2-\left(m^2-3\right)-3m^2-8< =0\)

=>\(4m^2-8m+4-m^2+3-3m^2-8< =0\)

=>-8m-1<=0

=>8m+1>=0

=>\(m>=-\dfrac{1}{8}\)

=>\(-\dfrac{1}{8}< =m< =2\)

Answer 2

[Nguyễn Hoàng Long]

x² - 2(m-1)x + m² -3 = 0 (1)

(1) có 2 nghiệm khi Δ = [ -2(m-1)]² - 4 . 1. (m² -3) ≥ 0

<=> 4m² - 8m + 4 - 4m² +12 ≥ 0

<=> -8m + 16 ≥ 0

<=> m ≤ 2

Theo định lý Vi-ét:

S= x₁ + x₂ = -b/2.a = m -1

P= x₁.x₂ = c/a = m² -3

Ta có : x1 là nghiệm của (1) nên

x₁² - 2(m-1) x₁ + m² -3 = 0

<=> x₁² = -2(m-1) x₁ - m² + 3 

Từ đó: 

x₁² - 2(m-1) x2 ≤ 3m² + 8

<=> -2(m-1) x₁ - m² + 3 - 2(m-1) x₂ ≤ 3m² + 8

<=> - 2(m-1)(x₁ + x₂)  - 4m² -5 ≤ 0

<=> -2(m² - 2m +1)  - 4m² -5 ≤ 0

<=> -6m^₂ + 4m -7 ≤ 0  (đúng với mọi m ϵ R)

Vậy m ≤ 2 thì thỏa