Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C I I I I I I D E F G J K L c b a b' c'
Bổ đề: Xét tam giác ABC có tâm nội tiếp I, J là tâm bàng tiếp góc A. Từ I và J hạ IH,JK vuông góc BC, L là đối xứng của H qua I.
Khi đó: i) BK = CH ii) A,L,K thẳng hàng (Tự chứng minh)
Quay trở lại bài toán:
Gọi I là tâm nội tiếp \(\Delta\)ABC, (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Ia;Ib;Ic thứ tự là tâm bàng tiếp các góc A,B,C
Hạ IaG vuông góc BC, J là đối xứng của D qua I. Ib' và Ic' lần lượt là tâm của (wb') và (wc').
Ta có hai điểm Ib và Ib' đối xứng nhau qua trung điểm cạnh AC nên AIbCIb' là hình bình hành
Do đó hình chiếu của Ib và Ib' đối xứng nhau qua trung điểm AC. Theo Bổ đề i) thì (wb') tiếp xúc AC tại E
Tương tự (wc') tiếp xúc với AB tại F. Khi đó PA/(Wb') = PA/(I) = PA/(Wc') suy ra A thuộc trục đẳng phương của (wb'), (wc') (1)
Gọi EJ cắt lại (wb') tại K; FJ cắt lại (wc') tại L. Ta thấy EJ vuông góc DE // CIb // AIb' từ đây suy ra AK là tiếp tuyến của (wb')
Tương tự AL là tiếp tuyến của (wc'). Từ đó bốn điểm K,L,E,F đồng viên. Do vậy PJ/(Wb') = JE.JK = JF.JL = PJ/(Wc')
Suy ra J nằm trên trục đẳng phương của (wb') và (wc') (2)
Từ (1) và (2), kết hợp với Bổ đề ii) ta thu được AG là trục đẳng phương của (wb') và (wc')
Chú ý rằng G là hình chiếu của Ia lên BC nên AB + BG = AC + CG = p. Vậy có ĐPCM.
a) Đặt độ dài cạnh AB là x (\(x > 0\))
Theo giả thiết ta có độ dài \(AC = AB + 2 = x + 2\)
Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông ta có
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \)
b) Chu vi của tam giác là \(C = AB + AC + BC\)
\( \Rightarrow C = x + \left( {x + 2} \right) + \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} = 2x + 2 + \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \)
Theo giả thiết ta có
\(\begin{array}{l}C = 24 \Leftrightarrow 2x + 2 + \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} = 24\\ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 4x + 4} = 22 - 2x\\ \Rightarrow 2{x^2} + 4x + 4 = {\left( {22 - 2x} \right)^2}\\ \Rightarrow 2{x^2} + 4x + 4 = 4{x^2} - 88x + 484\\ \Rightarrow 2{x^2} - 92x + 480 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow x = 6\) hoặc \(x = 40\)
Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} = 22 - 2x\) ta thấy chỉ có \(x = 6\) thỏa mãn phương trình
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là \(AB = 6;AC = 8\) và \(BC = 10\)(cm)
A B C A' B' C' a)Do A',B',C' là trung điểm BC,CA,AB=> A'B' song song với AB,B'C'song song với BC,C'A' song song với CA
\(\overrightarrow{A'B'}=\left(6;3\right)\) => VTPT của đường thẳng AB là: \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)\)
và C' thuộc (AB)=>Phương trình đường thẳng AB là:
(AB): x-2y-6=0
Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC là:
(BC): x+4=0
Tọa độ điểm B là nghiệm hệ
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{x-2y-6=0}\\x+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=-5\end{matrix}\right.\)
=>B(-4;-5)
A'(-4;1) là TĐ của BC => tọa độ C(-4;7)
C'(2;-2) là TĐ của AB =>tọa độ A(8;1)
b) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C' là G(x;y)
=>\(\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=0\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-4-x\right)+\left(2-x\right)+\left(2-x\right)=0\\\left(1-y\right)+\left(4-y\right)+\left(-2-y\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=1\end{matrix}\right.\)
=>G(0;1)
Thay vào tính
Ta có:\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) =(8-4-4;1-1+7-1-5-1)=(0;0)
=>G là trọng tâm tam giác ABC=>ĐPCM
:}
hog bic lm=))