Question

[Nguyễn Minh Hằng]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

A = ( x - 1/4 )^4 + | x - 2y | +1

Answer 1

[Nguyễn Đức Trí]

\(A=\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^4+\left|x-2y\right|+1\)

vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^4\ge0,\forall x\\\left|x-2y\right|\ge0,\forall x;y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^4+\left|x-2y\right|+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{4}=0\\x-2y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\\y=\dfrac{x}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\\y=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(GTNN\left(A\right)=1\left(tạix=\dfrac{1}{4};y=\dfrac{1}{8}\right)\)

Answer 2

[Kiều Vũ Linh]

Ta có:

(x - 1/4)⁴ ≥ 0 với mọi x ∈ R

(x - 2y)² ≥ 0 với mọi x, y ∈ R

(x - 1/4)⁴ + (x - 2y)² ≥ 0 với mọi x, y ∈ R

(x - 1/4)⁴ + (x - 2y)² + 1 ≥ 1 với mọi x, y ∈ R

Vậy GTNN của A là 1 khi x = 1/4 và y = 1/8