K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
1
KN
29 tháng 7 2020
Đặt \(A=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(2A=x^2+y^2+z^2+\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(x+y+z\right)^2\)
\(=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{3}=12\Rightarrow A\ge6\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 10 2019
Bài 1:
\(x^2+y^2-2x-4y+5=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=0\)
Vì $(x-1)^2; (y-2)^2\geq 0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì $(x-1)^2=(y-2)^2=0$
$\Rightarrow x=1; y=2$
Vậy...........
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 10 2019
Bài 2:
Ta có:
\(a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0\)
\(\Leftrightarrow 2a(a-b)+2b(b-c)+2c(c-a)=0\)
\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)
Lập luận tương tự bài 1, ta suy ra :
\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó, thay $b=c=a$ ta có:
\(P=a^3+b^3+c^3-3abc+3ab-3c+5\)
\(=3a^3-3a^3+3a^2-3a+5=3a^2-3a+5\)
\(=3(a^2-a+\frac{1}{4})+\frac{17}{4}=3(a-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}\geq \frac{17}{4}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{17}{4}$
Giá trị này đạt được tại $b=c=a=\frac{1}{2}$
NT
2
3 tháng 11 2016
1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/ x² + ax + bc = 0 (1)
x² + bx + ac =0 (2)
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2)
x1 là nghiệm chung của 2 pt
x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0
trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0
<=> (x1).(a - b) = c(a - b)
<=> x1 = c
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c)
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c
thay a = - b - c vào (1):
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1')
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b
tương tự, thay b = - a - c vào (2):
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2')
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a
Vậy
{ x2 + x3 = a + b
{ x2.x3 = ab
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt:
x² - (a + b)x + ab =0
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105
Đặt Q(x) = P(x) - 5x
Ta có:
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x)
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2
Q(x) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m)
mà Q(x) = P(x) - 5x
--> P(x) = Q(x) + 5x
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x
P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45
--> [ P(12) - P(-9) ] / 105
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105
= (10.11.21 + 105) / 105
= (2.5.11.21 + 105) / 105
= (2.11.105 + 105) / 105
= 22 + 1 = 23
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
31 tháng 10 2016
a)
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1
b)
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2/ x² + ax + bc = 0 (1)
x² + bx + ac =0 (2)
Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2)
x1 là nghiệm chung của 2 pt
x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0
trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0
<=> (x1).(a - b) = c(a - b)
<=> x1 = c
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c)
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c
thay a = - b - c vào (1):
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1')
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b
tương tự, thay b = - a - c vào (2):
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2')
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a
Vậy
{ x2 + x3 = a + b
{ x2.x3 = ab
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt:
x² - (a + b)x + ab =0
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105
Đặt Q(x) = P(x) - 5x
Ta có:
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x)
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2
Q(x) được biểu diễn dưới dạng:
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m)
mà Q(x) = P(x) - 5x
--> P(x) = Q(x) + 5x
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x
P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45
--> [ P(12) - P(-9) ] / 105
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105
= (10.11.21 + 105) / 105
= (2.5.11.21 + 105) / 105
= (2.11.105 + 105) / 105
= 22 + 1 = 23
TV
2
30 tháng 8 2021
thêm x2 + y2 + z2 = 1 nha
HT nha vinh
DT
2
20 tháng 3 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\)
\(z^2+x^2\ge2\sqrt{z^2x^2}=2zx\)
\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\)
\(y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\)
\(z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(xy+yz+xz+x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\cdot6=12\left(xy+yz+xz+x+y+z=6\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\Leftrightarrow P\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Vậy \(P_{Min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
NT
5
18 tháng 4 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y+z+xy+yz+zx\le\frac{x^2+1}{2}+\frac{y^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}+xy+yz+xz=\frac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3}{2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2+3}{2}\)\(\Leftrightarrow6\le\frac{\left(x+y+z\right)^2+3}{2}\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\ge12\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(3A=\left(1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3^2=9\)
\(\Leftrightarrow A\ge3\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(x=y=z=1\)
Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
DD
0
31 tháng 10 2016
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1)
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)²
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9
<--> x² + y² + z² ≥ 3
--> M ≥ 3
--> min M = 3 khi x = y = z = 1
31 tháng 10 2016
x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y
tương tự:
+) 2yz ≤ y² + z²
+) 2xz ≤ x² + z²
cộng 3 vế của 3 bđt trên
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²)
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)²
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3²
--> xy + yz + xz ≤ 3
Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1