Question

[Bảo bảo bối]

Cho tam giác ABC (AB > AC). M là trung điểm của BC. Đường thang đi qua M vuông góc với tia phan giác của ^A tai H cắt hai tia BA,AC lần lượt tại E,F

   Chứng minh rằng: a) EF^2/4 + AH^2 = AE^2

                                    b) 2^BME = ^ACB - ^B

                                    c) BF = CF

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C M E F H K

a) Xét tam giác AEF: AH\(\perp\)EF; mà AH đồng thời là phân giác ^AEF

=> Tam giác AEF cân tại A => AH là đường trung tuyến của tam giác AEF => HE=HF=1/2EF

Xét tam giác AHE: ^AHE=90⁰ => HE²+AH²=AE². Thay HE=1/2EF, ta được:

  (1/2EF)²+AH²=AE² <=> EF²/4 + AH²=AE² (đpcm).

b) Ta có: ^BME=^CMF (đối đinh).

Do ^ACB là góc ngoài của tam giác CFM => ^ACB=^CFM + ^CMF => ^CMF=^ACB - ^CFM (1)

Tam giác AEF cân tại A => ^AFE=^AEF hay ^CFM=^AEF (2)

(1) ; (2) => ^CMF=^ACB - ^AEF hay ^BME= ^ACB - ^AEF (3)

Lại có: ^AEF là góc ngoài tam giác EBM => ^AEF=^EBM + ^BME= ^B +^BME (4)

(3) ; (4) => ^BME= ^ACB - (^B + ^BME) = ^ACB - ^B - ^BME => ^BME + ^BME = ^ACB - ^B

=> 2. ^BME = ^ACB - ^B (đpcm).

c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt EF tại K.

Ta có: ^AEF=^CKF. Mà ^EAF=^AFE => ^CKF=^AFE hay ^CKF=^CFK 

=> Tam giác FCK cân tại C => CF=CK (5)

Dẽ dàng chứng minh: Tam giác BEM= Tam giác CKM (g.c.g) => BE=CK (6)

(5) ; (6) => BE=CF (đpcm).