Đúng!

very good

Ta có \(\frac{1}{1+2+3+..+n}=\frac{2}{n\left(n+1\right)}\)

Xét mẫu ta có

\(1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+...+\frac{1}{1+2+...+2016}\)

\(=2\left(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+...+\frac{1}{2015\times2016}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)\)

\(=2\left(1-\frac{1}{2017}\right)=\frac{2\times2016}{2017}\)

Thế vào ta được

\(D=\frac{2\times2016\times2017}{2\times2016}=2017\)

 = 2017

Với một hình chữ nhất có chu vi không đổi thì diện tích của nó là lớn nhất khi nó là hình vuông.

Chứng minh điều này có thể phải dùng tới kiến thức về bất đẳng thức ở cấp II.

Chứng minh: 

Gọi chiều dài hình chữ nhật là a; chiều rộng hình chữ nhật là b; Chi vi hình chữ nhật là C.

Ta có: \(C=2\left(a+b\right)\)

Diện tích hình chữ nhật là:\(S=a.b\)

Mà: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow S=ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(\frac{C}{2}\right)^2}{4}=\frac{C^2}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\) hay chiều dài = chiều rộng, hay hình chữ nhật là hình vuông.

Vậy bác nông dân khoanh mảnh đất thành hình vuông thì sẽ nhận được diện tích lớn nhất (có lợi nhất).

Bài toán có thể hiểu là: Trong các hình: tròn, vuông và hình chữ nhật cùng chu vi, xét xem hình nào có diện tích lớn nhất. Ta so sánh diện tích các hình trên qua đại lượng chu vi . Gọi chu vi ( độ dài sợ dây) là C; ta có:

S_­vuông= C/4 xC/4= CxC/16.  Để biến hình vuông thành hình chữ nhật thì phải bớt cạnh này của hình vuông và thêm vào cạnh kia của hình vuông một lượng, chẳng hạn là a, ta có chiều dài là C/4+a và chiều rộng là C/4-a; khi đó diện tích hình chữ nhật là
S_{chữ nhật}= (C/4+a)x(C/4-a)= CxC/16- axa , vì là hình chữ nhật nên a>0, nên S_{chữ nhât} < S_vuông.

 Ta lại có S­_tròn=3,14xCxC/4x3,14x3,14 =  CxC/4x3,14 > CxC/16 Vậy S_tròn> S_vuông> S_{chữ nhật..}

Kết luận: Nếu hình tròn, hình vuông và hình chữ nhật có chu bằng nhau thì diện tích hình tròn là lớn nhất, diện tích hình chữ nhật là bé nhất.

TA CÓ:

3⁴=....1

MÀ 2020 CHIA HẾT CHO 4dư2=>3²⁰²⁰ CÓ TẬN CÙNG LÀ 9

6²=....6

MÀ 2010 CHIA HẾT CHO 2=>6²⁰¹⁰CÓ TẬN CÙNG LÀ6

9²=...1

MÀ 2010 CHIA HẾT CHO2=>9²⁰¹⁰CÓ TẬN CÙNG LÀ1

12⁴=...6

MÀ2010 CHIA HẾT CHO 4dư2=>12²⁰¹⁰CÓ TẬN CÙNG LÀ4

15²=...5

MÀ 2010 CHIA HẾT CHO 2=>5²⁰¹⁰CÓ TẬN CÙNG LÀ5

18⁴=...6

MÀ 2010 CHIA HẾT CHO 4dư2=>18²⁰¹⁰CÓ TẬN CÙNG LÀ4

CÓ:...9-...6+....1-....4+...5-....4=...1

=>chữ số tận cùng của biểu thức trên là 1

đầu tiên bạn lấy 3^2020(mod 1000)= 401

                           6^2010(mod 1000)=176 

                           9^2010(mod 1000)=401

                          12^2010(mod 1000)=224

                          15^2010(mod 1000)=625

                          18^2010(mod 1000)=624

Ta có 401-176+401-224+625-624=406

Vậy chữ số tận cùng của biểu thức trên là : 6

Giả sử: \(c^2>a^2>b^2\)khi đó ta có:
\(\frac{b^2+c^2}{a^2+3}+\frac{c^2-a^2}{b^2+4^2}+\frac{a^2-b^2}{c^2+5}\le\frac{b^2+c^2}{b^2+3}+\frac{c^2-a^2}{b^2+3}+\frac{a^2-b^2}{b^2+3}=\frac{2c^2}{b^2+3}\le\frac{2}{3}.c^2\)
Như vậy ta có: \(a^2+b^2+c^2\le\frac{2}{3}.c^2\). Điều này xảy ra khi a = b = c.

thank you ban nhieu !

A B C E F D

Từ A kẻ đường thẳng Ax vuông góc với AE, trên Ax lấy điểm D sao cho AD=AE. Ta được góc EAD = 90

tgABE=tgACD (c-g-c) do AB=AC( tg ABC vuông cân),góc BAE = góc CAD( cùng phụ với góc EAC),BE=AD(cách vẽ)

=>\(\hept{\begin{cases}BE=DC\\\widehat{B}=\widehat{ACD}\end{cases}}\)

Mà \(\widehat{B}+\widehat{ACF}=90\)nên \(\widehat{ACD}+\widehat{ACF}=90\)=>\(\widehat{DCF}=90\)=>tg DCF là tg vuông

tg EAF = tg FAD(c-g-c) do \(AE=AD,\widehat{EAF}=\widehat{FAD}\left(=45\right),AFchung\)

=> EF=FD

Xét tg vuông FCD vuông tại C có CF²+DC²=FD²( định lý Pytago) <=> CF²+BE²=EF²(do BE=DC,EF=FD)-cmt

đpcm

ghjkgjh

Do tổng của n số gấp đôi tổng của các số còn lại nên tổng đó bằng 2/3 tổng các số từ 1 đến 2015.

Ta tính tổng đó: \(S=\frac{2}{3}\left(\frac{\left(2015+1\right).2015}{2}\right)=1354080.\)

Gọi n số thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(1\le a_1< a_2< ...< a_n\le2015.\)

Ta thấy \(a_1\ge1;a_2\ge a_1+1=2;...;a_n\ge n.\)

Vậy thì để tồn tại nhiều số nhất thì ta chọn : \(a_1=1;a_2=2;...;a_{n-1}=n-1;a_n\)

Tính tổng (n -1) số đầu tiên: \(S_{n-1}=\frac{\left(n-1+1\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\le1354080\)

Ta chọn n max thỏa mãn điều kiện bên trên. Vậy n = 1645.

Vậy n max là 1645 với dãy số:

\(\hept{\begin{cases}a_1=1;a_2=2;...;a_{1644}=1644\\a_{1645}=1354080-\frac{1645.1644}{2}=1890\end{cases}}\) 

Tương tự: \(a_n\le2015;a_{n-1}\le a_n-1=2014;...\)

Để chọn được n min thì \(\hept{\begin{cases}a_n=2015;a_{n-1}=2014;...;a_2=2015-n+2.\\a_1\end{cases}}\)

Tổng n - 1 số là : \(S_{n-1}=\frac{\left(2015+2015-n+2\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{\left(4032-n\right)\left(n-1\right)}{2}< 1354080\)

Vậy n min = 852. 

Khi đó \(\hept{\begin{cases}a_2=1165;a_3=1166;...;a_{852}=2015\\a_1=1354080-\frac{851.3180}{2}=990\end{cases}}\)

Vậy n max = 1645 và n min = 852.

Điểm mấu chốt là nhận ra \(\hept{\begin{cases}1\le a_1;2\le a_2;...\\2015\ge a_n;2014\ge a_{n-1};...\end{cases}}\)

Câu hỏi của trần như - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bài 1 em tham khảo tại link trên nhé.

Mình vẽ được 2 hình dưới nhưng hình bên trái phù hợp với đpcm .Phải sửa đề thành : Trên nửa mặt phẳng bờ BM chứa C lấy điểm N sao cho góc BMN,BDE bù nhau.

A B C D E M N hay A B N C M E D

góc BDE = góc BAC (2 góc đồng vị của AC // DE) mà góc BMC,góc BAC bù nhau ; góc BMN,góc BDE bù nhau (gt)

=> góc BMC = góc BMN mà 2 tia MN,MC nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BM (do gt) => MN,MC trùng nhau hay M,N,C thẳng hàng.

Làm tiếp:

\(=\left(1+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{2017}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+....+\frac{1}{1008}\right)\)

\(=\frac{1}{1009}+\frac{1}{1010}+.........+\frac{1}{2017}\)

\(\Rightarrow\frac{\frac{1}{1009}+....+\frac{1}{2017}}{1-\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}+\frac{1}{2017}}=1\)

Bài 2:

Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+.......+\frac{1}{2^{800}}\)

\(4A=1+\frac{1}{2^2}+.....+\frac{1}{2^{798}}\)

\(\Rightarrow4A-A=1-\frac{1}{2^{800}}\)

\(\Rightarrow3A=1-\frac{1}{2^{800}}< 1\Rightarrow A< \frac{1}{3}\)

Vậy \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+........+\frac{1}{2^{800}}< \frac{1}{3}\)

Bài 1:Tính

a,   Xét biểu thức \(\frac{\left(1+\frac{n}{1}\right)\left(1+\frac{n}{2}\right).........\left(1+\frac{n}{n+2}\right)}{\left(1+\frac{n+2}{1}\right)\left(1+\frac{n+2}{2}\right)..........\left(1+\frac{n+2}{n}\right)}\) với\(n\in N\)

Ta có:\(\frac{\left(1+\frac{n}{1}\right)\left(1+\frac{n}{2}\right).......\left(1+\frac{n}{n+2}\right)}{\left(1+\frac{n+2}{1}\right)\left(1+\frac{n+2}{2}\right)......\left(1+\frac{n+2}{n}\right)}\)

\(=\frac{\frac{n+1}{1}.\frac{n+2}{2}........\frac{2n+2}{n+2}}{\frac{n+3}{1}.\frac{n+4}{2}.........\frac{2n+2}{n}}\)

\(=\frac{\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right).......\left(2n+2\right)}{1.2.3.........\left(n+2\right)}}{\frac{\left(n+3\right)\left(n+4\right)........\left(2n+2\right)}{1.2.3.........n}}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right).......\left(2n+2\right).1.2.3.......n}{\left(n+3\right)\left(n+4\right)........\left(2n+2\right).1.2.3......\left(n+2\right)}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=1\)

Áp dụng vào bài toán ta có đáp số là:1

b, \(\frac{\frac{-6}{5}+\frac{6}{19}-\frac{6}{23}}{\frac{9}{5}-\frac{9}{19}+\frac{9}{23}}=\frac{\left(-6\right).\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{19}+\frac{1}{23}\right)}{9.\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{19}+\frac{1}{23}\right)}=\frac{-6}{9}=-\frac{2}{3}\)

c,\(\frac{\frac{1}{6}-\frac{1}{39}+\frac{1}{51}}{\frac{1}{8}-\frac{1}{52}+\frac{1}{68}}=\frac{\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{13}+\frac{1}{17}\right)}{\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{13}+\frac{1}{17}\right)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=12\)

d,\(\frac{\frac{2}{3}-\frac{2}{5}-\frac{2}{7}}{\frac{13}{3}-\frac{13}{5}-\frac{13}{7}}=\frac{2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)}{13\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)}=\frac{2}{13}\)

e,Xét mẫu số ta có:

\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+..........+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}+\frac{1}{2017}\)

\(=1+\frac{1}{2}-2.\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-2.\frac{1}{4}+.....+\frac{1}{2015}+\frac{1}{2016}-2.\frac{1}{2016}+\frac{1}{2017}\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.......+\frac{1}{2017}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+.........+\frac{1}{2016}\right)\)