Nếu là bạn anh ta,mik sẽ khuyên ko nên tham gia vì vòng 100 người có khả năng  người ra mặt 12 rất ,và cả 100 người đều sẽ C.H.Ế.T 😈😈😈

cái gì mà đe dọa đến tính mạng thì phương án tốt nhất là ko đi

\(\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)

\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(3-2\sqrt{5}\right)^2}}}\)

\(=\sqrt{5-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{1}=1\)

dấu bằng xảy ra khi nó bằng nhau

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương:

\(x^4+yz\ge2\sqrt{x^4yz}=2x^2\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{x^4+yz}\le\dfrac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\dfrac{1}{2\sqrt{yz}}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2}{y^4+xz}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\\\dfrac{z^2}{z^4+xy}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

Có \(x^2+y^2+z^2=3xyz\Leftrightarrow\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{xz}+\dfrac{z}{xy}=3\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương:

\(\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{xz}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{yz}.\dfrac{y}{xz}}=\dfrac{2}{z}\)

Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y}{xz}+\dfrac{z}{xy}\ge\dfrac{2}{x}\\\dfrac{z}{xy}+\dfrac{x}{yz}\ge\dfrac{2}{y}\end{matrix}\right.\)

Có: \(6=2\left(\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{xz}+\dfrac{z}{xy}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\le3\)

\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

A B C E D P Q O H K I

1/ E và D cùng nhìn BC dưới 2 góc bằng nhau và bằng 90 độ nên E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BD

=> BCDE là tứ giác nội tiếp

Xét tg vuông ABD và tg vuông ACE có

\(\widehat{ABP}=\widehat{ACQ}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAC}\) ) (1)

\(sđ\widehat{ABP}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AP (góc nội tiếp) (2)

\(sđ\widehat{ACQ}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AQ (góc nội tiếp) (3)

Từ (1) (2) (3) => sđ cung AP = sđ cung AQ

2/ 

Ta có 

\(sđ\widehat{ABP}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AP (góc nt) (1)

\(sđ\widehat{ABQ}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AQ (góc nt) (2)

Mà sđ cung AP = sđ cung AQ (cmt) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{ABP}=\widehat{ABQ}\) => BA là phân giác của \(\widehat{PBQ}\)

Mà \(AB\perp CQ\) => BA là đường cao của tg HBQ

=> tg HBQ cân tại B (trong tg đường phân giác đồng thời là đường cao thì tg đó là tg cân)

=> EQ=EH (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến) => E là trung điểm của HQ (đpcm)

Chứng minh tương tự ta cũng có D là trung điểm của HP

=> ED là đường trung bình của tg HPQ => ED//PQ

Nối AO cắt (O) tại K ta có

sđ cung AQK = sđ cung APK (nửa đường tròn)

sđ cung AQ = sđ cung AP (cmt)

=> sđ cung QBK = sđ cung PCK => KQ=KP (hai cung có số đo bằng nhau thì hai dây trương cung tương ứng có độ dài bằng nhau) => tg KPQ cân tại K

Ta có

\(sđ\widehat{AKQ}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AQ (góc nt)

\(sđ\widehat{AKP}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AP (góc nt)

Mà sđ cung AQ = sđ cung AP (cmt)

=> \(\widehat{AKQ}=\widehat{AKP}\) => AK là phân giác  \(\widehat{PKQ}\) của tg cân KPQ 

=> AK là đường cao của tg KPQ (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

\(\Rightarrow AK\perp PQ\Rightarrow OA\perp PQ\) mà DE//PQ (cmt) \(\Rightarrow OA\perp DE\) (đpcm)

3/ Ta có

Xét tg vuông ABD có

\(\widehat{ABD}=90^o-\widehat{CAB}=90^o-60^o=30^o\)

\(\Rightarrow AD=\dfrac{AB}{2}\) (trong tg vuông cạnh đối diện với góc \(30^o\) bằng nửa cạnh huyền)

C/m tương tự khi xét tg vuông ACE ta cũng có \(AE=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có

\(sđ\widehat{ADB}=30^o=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AP => sđ cung AP\(=60^o\) = sđ cung AQ

Gọi I là giao của AK với PQ ta có

tg KPQ cân tại K (cmt)

\(AK\perp PQ\) (cmt)

=> IQ=IP (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)

Xét tg vuông AQI có

\(sđ\widehat{AQI}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AP = \(30^o\Rightarrow AI=\dfrac{AQ}{2}\)  (trong tg vuông cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

Ta có \(\widehat{AQK}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông AQK có

\(AQ^2=AI.AK=\dfrac{AQ}{2}.2R\Rightarrow AQ=R\Rightarrow AI=\dfrac{AQ}{2}=\dfrac{R}{2}\) 

\(\Rightarrow IK=AK-AI=2R-\dfrac{R}{2}=\dfrac{3R}{2}\)

Ta có

\(IQ^2=IA.IK\) (trong tg vuông bình phươn đường cạo hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow IQ^2=\dfrac{R}{2}.\dfrac{3R}{2}\Rightarrow IQ=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

Ta có 

IQ=IP (cmt) => PQ=2.IQ=\(R\sqrt{3}\)

Ta có ED là đường trung bình của tg HPQ (cmt)

\(\Rightarrow DE=\dfrac{PQ}{2}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

Ta có

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin\widehat{CAB}=\dfrac{1}{2}.AB.AC.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{AB.AC.\sqrt{3}}{4}\)

\(S_{AED}=\dfrac{1}{2}.AD.AE.\sin\widehat{CAB}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{AB}{2}.\dfrac{AC}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{AB.AC.\sqrt{3}}{16}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{AED}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{4}\)

Gọi R' là bán kính đường tròn ngoại tiếp tg AED

\(S_{AED}=\dfrac{AE.AD.DE}{4R'}=\dfrac{AC}{2}.\dfrac{AB}{2}.\dfrac{6\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{4R'}=\dfrac{AB.AC.\sqrt{3}}{4}.\dfrac{3\sqrt{3}}{4R'}=\dfrac{S_{ABC}.3\sqrt{3}}{4R'}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{AED}}{S_{ABC}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4R'}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow R'=3\sqrt{3}\)

1)

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{1}{4}\)

PT \(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+2x+2}-\sqrt{4x-1}+2x^2+3x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x^2+2x+2}-2\right)-\left(\sqrt{4x-1}-1\right)+2x^2+3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x^2+2x+2-4}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}-\dfrac{4x-1-1}{\sqrt{4x-1}+1}+\left(2x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x^2+2x-2}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}-\dfrac{4x-2}{\sqrt{4x-1}+1}+\left(2x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(2x-1\right)\left(x+1\right)}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}-\dfrac{2\left(2x-1\right)}{\sqrt{4x-1}+1}+\left(2x-1\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(\dfrac{2x+2}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}-\dfrac{2}{\sqrt{4x-1}+1}+x+2\right)=0\)

Mà \(\dfrac{2x+2}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}>0\)

       \(\dfrac{2}{\sqrt{4x-1}+1}< 2\Leftrightarrow-\dfrac{2}{\sqrt{4x-1}+1}>-2\)

        \(x+2>2\)

=> \(\dfrac{2x+2}{\sqrt{4x^2+2x+2}+2}-\dfrac{2}{\sqrt{4x-1}+1}+x+2>0\)

\(\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(TM\right)\)

KL: Vậy PT có nghiệm \(S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\)

2)

BĐT \(\Leftrightarrow\left[\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b+2c}{9}.a\right]+\left[\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c+2a}{9}.b\right]+\left[\dfrac{c^3}{a+2b}+\dfrac{a+2b}{9}.c\right]-\dfrac{1}{3}.\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm:

\(\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b+2c}{9}.a\ge2.\sqrt{\dfrac{a^3}{b+2c}.\dfrac{b+2c}{9}.a}=\dfrac{2a^2}{3}\)

Tương tự \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c+2a}{9}.b\ge\dfrac{2b^2}{3}\\\dfrac{c^3}{a+2b}+\dfrac{a+2b}{9}.c\ge\dfrac{2c^2}{3}\end{matrix}\right.\)

\(VT\ge\dfrac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)-1\)

Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=3\)

\(\Rightarrow VT\ge1\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(LHS\ge\sum_{cyc}\dfrac{a^4}{ab+2ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{3}=\dfrac{3}{3}=1\)Vậy ta có điều phải chứng minh

1. Khi $m=4$ thì phương trình trở thành $x^2-9x+20=0\Leftrightarrow (x-4)(x-5)=0$ hay $x=4$ hoặc $x=5$ là các nghiệm của phương trình.

2. Ta có \(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m\right)=1>0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, hơn thế nữa ta có $x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$ có 2 nghiệm là $x_1,x_2$ thì theo định lý Viete ta có $x_1+x_2=2m+1,x_1.x_2=m^2+m$, ta có $-17=(x_1+x_2)^2-7x_1.x_2=(2m+1)^2-7(m^2+m)$ hay $-3m^2-3m+18=0\Leftrightarrow 3(m+3)(m-2)=0$, vậy $m=2,m=-3$ là các giá trị cần tìm