+) Xét n≥27n≥27

Ta có : A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)A=427+42016+4n=427⋅(1+41989+4n−27)

Dễ thấy 427=22⋅27=(227)2427=22⋅27=(227)2 là số chính phương

Do đó để A là số chính phương thì 1+41989+4n−271+41989+4n−27 là số chính phương

Đặt B2=1+41989+4n−27B2=1+41989+4n−27 và n−27=kn−27=k

Khi đó : B2=1+41989+4kB2=1+41989+4k

⇔B2−(2k)2=1+41989⇔B2−(2k)2=1+41989

⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989⇔(B−2k)(B+2k)=1+41989

Ta có : B+2k≤1+41989B+2k≤1+41989 và B−2k≥1B−2k≥1

⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k⇒B−2k+41989≥1+41989≥B+2k

Hay B−2k+41989≥B+2kB−2k+41989≥B+2k

⇔2⋅2k≤41989⇔2⋅2k≤41989

⇔2k+1≤23978⇔2k+1≤23978

⇔k+1≤3978⇔k+1≤3978

⇔k≤3977⇔k≤3977

Để n lớn nhất thì k lớn nhất,nên:

Nếu k=3977k=3977 ta có B2=1+41989+43977B2=1+41989+43977

⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1⇔B2=(23977)2+2⋅23977+1

⇔B2=(23977+1)2⇔B2=(23977+1)2( đúng )

Vậy k=3977⇒n=3977+27=4004k=3977⇒n=3977+27=4004( thỏa )

+) Xét n≤27n≤27 nên hiển nhiên n≤4004n≤4004

Suy ra n lớn nhất để A là số chính phương thì n=4004

Nếu thấy đúng thì k cho mình nha

\(A=4^{27}+4^{2016}+4^n\)

Với \(n\ge27\): 

\(A=4^{27}\left(1+4^{1989}+4^{n-27}\right)\)

\(A\)là số chính phương suy ra ​\(B=4^{n-27}+4^{1989}+1\)là số chính phương.​

​\(B=\left(2^{n-27}\right)^2+2^{3978}+1\)​

\(=\left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977}+1\)

Với \(n=4004\)thì: 

\(B=\left(2^{3977}\right)^2+2.2^{3977}+1=\left(2^{3977}+1\right)^2\)là số chính phương. 

Với \(n>4004\)thì: 

\(B>\left(2^{3977+n-4004}\right)^2\)

\(B< \left(2^{3977+n-4004}\right)^2+2.2^{3977+n-4004}+1\)

\(=\left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)

Suy ra \(\left(2^{3977+n-4004}\right)^2< B< \left(2^{3977+n-4004}+1\right)^2\)do đó \(B\)không là số chính phương. 

Vậy giá trị lớn nhất của \(n\)là \(4004\).

Với \(n\ge3\)thì tích của \(n\)số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(3\)

mà \(4^n\equiv1\left(mod3\right),14\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow4^n-14\equiv2\left(mod3\right)\)do đó không thỏa mãn. 

Thử trực tiếp với \(n=1\)và \(n=2\)thu được \(n=2\)thỏa mãn. 

\(4^2-14=1.2\).

Vậy \(n=2\).

không biét

\(n^2+2n+\sqrt{n^2+2n+18}+9\)là số chính phương thì \(\sqrt{n^2+2n+18}\)là số tự nhiên.

Khi đó \(n^2+2n+18=m^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m-n-1\right)\left(m+n+1\right)=1.17\)

Do \(m,n\)là số tự nhiên nên 

\(\hept{\begin{cases}m-n-1=1\\m+n+1=17\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=9\\n=7\end{cases}}\)

Với \(n=7\)thì \(n^2+2n+\sqrt{n^2+2n+18}+9=7^2+2.7+\sqrt{7^2+2.7+18}+9\)

\(=81=9^2\)là số chính phương (thỏa mãn).

Vậy \(n=7\).

Câu hỏi tương tự nha bạn

Gọi số dãy ghế ban đầu là a [a>0 ,a thuộc N]

=>Số người trên mỗi dãy ghế là : \(\frac{70}{a}\)

Khi bớt đi 2 dãy ghế => Số dãy ghế còn lại là : a-2

Số người trên mỗi dãy ghế lúc đó là : \(\frac{70}{a-2}\)

Theo bài ra ta có : \(\frac{70}{a}+4=\frac{70}{a-2}\)

=> 70[a-2]+4a[a-2]=70a =>35[a-2]+2a[a-2]=35a

=> 35a-70+2a\(^2\)-4a=35a

=> 2a\(^2\)-4a-70=0

=> \(a^2-2a-35=0=>a^2-2a+1-36=0=>\left[a-1^2\right]=36=6^2\). Có 2 trường hợp

Trường hợp 1 : a-1 = -6 => a = - 5 [loại]

Trường hợp 2 : a - 1 = 6 => a = 7

Còn đây bạn làm nốt tiếp

Vậy phòng họp lúc đầu có 7 dãy ghế và 10 người

\(2\ge2x+3y\ge2\sqrt{2x.3y}\Rightarrow xy\le\frac{1}{6}.\)

\(A=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{9}{xy}=\frac{4}{4x^2+9y^2}+\frac{4}{12xy}+\frac{26}{3xy}\ge\frac{\left(2+2\right)^2}{4x^2+9y^2+12xy}+\frac{26}{3xy}\)

\(\ge\frac{4^2}{2^2}+\frac{26}{3.\frac{1}{6}}=56\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}\frac{2}{4x^2+9y^2}=\frac{2}{12xy}\\2x=3y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{3}\end{cases}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương, ta có: 2x + 3y ≥ 2

⇔ 2 ≤ 2x + 3y

Mà 2x + 3y ≤ 2

Do đó  ≤ 1 6xy ≤ 1. Kết hợp kết quả ở câu 1 ta có:

A =  = 4( ) +  ≥  4 +  = 16 ≥ 16. = 56

Dấu “ = “ xảy ra ⇔ ⇔ 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 56.

Gọi số trận đấu mà anh Nam chơi ngày thứ nhất, thứ 2, ..., ngày thứ 20 lần lược là: a₁; a₂; ...; a _n.

Xét 20 tổng :

S₁ = a₁

S₂ = a₁ + a₂

...................

S _n = a₁ + a₂ + ... + a​ _n

Ta có: S₁ < S₂ < .... < S _n < 36 (vì trong 20 ngày anh Nam không chơi quá 12.3 = 36 trận)

Ta biết rằng 1 số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 20 thì có 19 số dư khác 0 là: 1, 2,...,19.

Giờ quay lại bài toán ta thấy 

Nếu trong 20 tổng này có 1 tổng chia hết 20 thì bài toán đã được chứng minh (vì các tổng đó lớn hơn 0 nhỏ hơn 36 nên tổng chỉ có thể là 20). 

Còn nếu trong 20 tổng này không có tổng nào chia hết cho 20 thì sẽ tồn tại ít nhất 2 tổng có cùng số dư khi chia cho 20.

Giả sử hai tổng đó là S _m, S _n (m > n) thì ta có S _m - S _n = (a₁ + a₂ + ... + a _m) - (a₁ + a₂ + ... + a _n) = a _n+1 + a _n+2 + ...+ a_{​ m} chia hết cho 20. Hay S _m - S​ _n = 20.

Vậy tồn tại một số ngày liên tiếp trong đó anh chơi đúng 20 trận.

20 đấy Vương ạ

\(\sqrt{30}\)

Bằng 5,490838311

a.57,6m2

hiệu số phần bằng nhau là

5-2=3( phần)

Chiều dài của khu đất HCN đó là

7,2÷3×5=12(m)

Chiều rộng của khu đất HCN đó là

12-7,2=4,8(m)

Diện tích khu đất HCN đó là

12×4,8=57,6(m^2)

            Đáp số 57,6 m^2.

Giải

Hiệu số phần bằng nhau là :

        3 - 2 = 1 ( phần )
 

Chiều rộng mảnh đất là : 

      7,2 : 1 x 2 = 14,2 ( m )

Chiều dài mảnh đất là :

       14,2 + 7,2 = 21,4 ( m ) 

a) Diện tích khu đất là :

      14,2 x 7,2 = 102,24 (m²)

b) Bán kính bồn hoa là :

            6 : 2 = 3 ( m )

     Diện tích bồn hoa là :

        3 x 3 x 3,14 = 28,26 (m²)

c) Diện tích trồng rau là :

      102,24 - 28,26 = 73,98 ( m²)

                                       Đ/S : a) Diện tích khu đất là :102,24 m²

                                                b) Diện tích bồn hoa là :28,26 m²

                                                c) Diện tích trồng rau là : 73,98 m²

Diện tích của 1 hình vuông nhỏ là:            100  :  4  =  25(cm²)

Vì 25 = 5 x 5 nên cạnh của 1 hình vuông nhỏ là 5cm

Vậy, chu vi của hình vuông nhỏ là:            5  x  4  =  20(cm)

                                                                                              Đáp số: 20cm